Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы

следует из теоремы . Предположим теперь, что

не является нильпотентной группой. Пусть

- максимальная подгруппа группы

, которая не является нормальной в

. Пусть

и

- максимальная подгруппа группы

. Рассуждая как выше видим, что

. Следовательно,

, и

- циклическая примарная группа. Пусть

. Покажем, что

. Допустим, что

. Пусть

- силовская

-подгруппа группы

и

- максимальная подгруппа группы

. Тогда

-

-максимальная подгруппа группы

и, следовательно, по условию

- подгруппа группы

, что противоречит максимальности подгруппы

. Отсюда следует, что

.
Достаточность очевидна. Следствие доказано.
[2.2]. Если в группе
любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
и
, то
- нильпотентная группа. В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.
[2.2]. Пусть
- группа,
- ее подгруппа Фиттинга. Если любая
-максимальная подгруппа группы
-перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
, то группа
разрешима и
для каждого простого
. Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть

- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1)
- разрешимая группа. Действительно, если

, то каждая

-максимальная подгруппа группы

перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы

. Тогда по следствию , каждая максимальная подгруппа группы

сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы,

- разрешимая группа.
Пусть теперь

. Так как условие теоремы справедливо для группы

, то группа

разрешима и поэтому

- разрешимая группа.
(2) Группа
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
, где
- такая максимальная в
подгруппа, что
,
и
. Так как класс всех разрешимых групп

с

образует насыщенную формацию , то ввиду (1),

и поэтому в группе

существует единственная минимальная нормальная подгруппа

. Из леммы вытекает, что

, где

- такая максимальная в

подгруппа, что

и

. Покажем, что

делит

. Если

не делит

, то

-

-группа, и поэтому

, что противоречит выбору группы

. Итак,

делит

. Допустим, что

. Тогда факторгруппа

изоморфна подгруппе группы автоморфизмов

. Так как группа

абелева, то

- сверхразрешимая группа, и поэтому

. Полученное противоречие с выбором группы

показывает, что

.