(3) Группа
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
и
, где
и
- максимальная в
подгруппа, которая не является нильпотентной группой. Пусть

- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы

. Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ), то

- единственная минимальная нормальная подгруппа в

, причем

. В силу (2),

является элементарной абелевой

-группой для некоторого простого

. Пусть

- максимальная подгруппа в

такая, что

. Пусть

. Ясно, что

. Так как

, мы видим, что

. Это показывает, что

и, следовательно,

. Ясно, что

и поэтому по выбору группы

,

не является нильпотентной группой.
(4) Заключительное противоречие.
В силу (3), в группе

имеется максимальная подгруппа

, которая не является нормальной подгруппой в

. Поскольку для любого

,

- максимальная в

подгруппа и

- максимальная подгруппа в

, то

-

-максимальная в

подгруппа. Если

- нормальная подгруппа в

, то

. Значит,

не является нормальной подгруппой в

. Покажем, что

- максимальная подгруппа группы

. Пусть

. Пусть

- такая максимальная подгруппа группы

, что

. Тогда

. Значит,

или

. Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно,

. Так как

, то

- максимальная в

подгруппа. Тогда для любого

,

-перестановочна с

. Поскольку

, то ввиду леммы (6),

перестановочна с

. Из максимальности подгруппы

следует, что

или

. Если

, то ввиду леммы ,

. Полученное противоречие показывает, что

. Тогда

для любого

и поэтому

. Следовательно,

. Это означает, что

- нормальная подгруппа в

, противоречие. Теорема доказана.
[2.1]. Каждая
-максимальная подгруппа группы
перестановочна с любой максимальной подгруппой в
тогда и только тогда, когда либо
нильпотентна, либо
- такая ненильпотентная группа с
, что циклическая силовская
-подгруппа
группы
не нормальна в
, а максимальная подгруппа группы
нормальна в
.