Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства

-квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы

. Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если

- квазинормальная подгруппа конечной группы

, то факторгруппа

содержится в гиперцентре факторгруппы

, где

- ядро подгруппы

. Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.
Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа

сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из

перестановочны с силовскими подгруппами из

, и группа

разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа

и такое ее дополнение

, что

перестановочна со всеми максимальными подгруппами из

. Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы

при условии, что

, где все подгруппы из

перестановочны со всеми подгруппами из

. Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .
В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы

и

называются

-перестановочными, где

, если в

имеется такой элемент

, что

. Используя понятие

-перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных

-перестановочных подгрупп для подходящих

. Согласно, группа

является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы

-перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах

-перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа

нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты ; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом . Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских

-подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.
По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения

-максимальных,

-максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение

-максимальных,

-максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем , а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее

-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы .