
Значит,

перестановочна с

. Пусть

. Если

, то

для некоторого

. Поскольку

то

и поэтому

перестановочна с

. Если

, то

. Из того, что

, следует, что

. Значит,

перестановочна с

.
Пусть теперь

. Тогда

-

-группа и, следовательно, для некоторого

,

. Без ограничения общности можно предположить, что

. Ясно, что

-

-максимальная подгруппа группы

. Пусть

- максимальная подгруппа группы

, содержащая

. Допустим, что

. Если

, то

. Предположим, что

. Тогда

- циклическая группа. Поскольку

, то

- максимальная подгруппа группы

. Из того, что

- циклическая подгруппа следует, что

. Значит,

. Поскольку

, то

- нормальная подгруппа в

. Отсюда следует, что

- нормальная подгруппа в

. Значит,

перестановочна с

.
Пусть

. Поскольку

- циклическая группа, то

- нормальная подгруппа в

. Следовательно,

перестановочна с

. Теорема доказана.
Если в группе
любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
и
, то
- нильпотентная группа. Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).
Заключение
В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с

-максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая

-максимальная подгруппа перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами. Доказана

-разрешимость и найдены оценки

-длины групп, у которых каждая

-максимальная подгруппа

-перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами, где

.
Литература
1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков М.Т. О

-разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.
3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными

-максимальными подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.
4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.
5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все

-е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 129-136.
6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.
7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.
8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н.,

-накрывающие системы подгрупп для классов

-сверхразрешимых и

-нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.
10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.
11.Пальчик Э.М. О

-квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.
12.Пальчик Э.М. О группах, все

-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.