Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 31 из 32)

и поэтому подгруппы

и перестановочны.

Если

, то рассуждая подобным образом, получаем, что перестановочна с .

Допустим, что

. Так как в все максимальные подгруппы, отличные от , примарные и циклические, то - максимальная подгруппа в . Следовательно, . Это означает, что в группе существует единственная -максимальная подгруппа и она единична. Таким образом, перестановочна с .

2. Пусть теперь

.

Пусть

. Тогда - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с . Пусть . Тогда . Поскольку для некоторого , , то без ограничения общности можно предположить, что . Значит, . Если , то и поэтому

Допустим, что

. Тогда - -группа. Поскольку для некоторого , и , то и поэтому . Пусть теперь . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа в соответственно. Тогда . Ясно, что для некоторого и . Следовательно, и поэтому . Если , то

Если

, то

В любом случае,

-максимальная подгруппа перестановочна с максимальной подгруппой .

Пусть

- группа типа (2) или (3). Если , то . Поскольку , то - -максимальная подгруппа группы . Если , то содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе группы . Так как , то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что