Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 3 из 32)
- класс всех сверхразрешимых групп; 
- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей 
.Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и 
- группа, тогда: 
- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп 
из , для которых 
. Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит 
. Если 
- формация всех сверхразрешимых групп, то 
называется сверхразрешимым корадикалом группы .Формация
называется насыщенной, если всегда из 
следует, что и 
.Класс групп
называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что 
следует, что и каждая подгруппа группы 
также принадлежит .Произведение формаций
и 
состоит из всех групп , для которых 
, т.е. 
.Пусть
- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа 
группы называется -абнормальной, если 
.Подгруппы
и 
группы называются перестановочными, если 
.Пусть
, -подгруппы группы и 
. Тогда 
называется:(1)
-перестановочной с , если в имеется такой элемент 
, что 
;(2) наследственно
-перестановочной с , если в 
имеется такой элемент 
, что .Пусть
- максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора 
, где 
и 
, и обозначают символом 
.Подгруппа
группы называется 
-максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в , если в найдется такая максимальная подгруппа , в которой является максимальной подгруппой. Аналогично определяют 
-максимальные (третьи максимальные) подгруппы, 
-максимальные подгруппы и т.д.Подгруппы
и 
группы называются перестановочными, если 
. Подгруппа группы называется перестановочной или квазинормальной в , если перестановочна с каждой подгруппой группы .Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина . Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля
-квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы 
группы 
факторгруппа 
нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая 
-квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если порождается своими -элементами и -подгруппа 
группы 
-квазинормальна в , то факторгруппа нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в подгруппы 
факторгруппа 
абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.