Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 29 из 32)

Допустим, что

. Тогда - силовская -подгруппа группы и . Из сверхразрешимости группы следует, что - нормальная подгруппа группы . Значит, , где - группа простого порядка . Ясно, что и поэтому . Поскольку все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны, то - группа типа (3).

Пусть

. Тогда и - нормальная подгруппа группы . Значит, . Так как - максимальная подгруппа группы , то - циклическая подгруппа и . Если , то . Если , то - группа типа (1).

Пусть теперь,

- различные простые числа. Тогда и . Если - нормальная подгруппа группы , то и поэтому - группа типа (1). Пусть не является нормальной подгруппой группы . Тогда - наибольший простой делитель порядка группы и поэтому - нормальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что и . Допустим, что - нормальная подгруппа группы . Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если , то и поэтому - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что для некоторого , - нормальная подгруппа группы . Следовательно, - нормальная подгруппа группы , противоречие. Значит, не является нормальной подгруппой в группе . Рассуждая как выше видим, что у все максимальные подгруппы отличные от примарны и цикличны и . Значит, - группа типа (1).

Достаточность. Если

и , то очевидно, что любая -максимальная погруппа группы перестановочна с ее максимальными подгруппами.

Пусть

- группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Ясно, что в группе -максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.