Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 27 из 32)

Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая группа. Значит, .

Предположим, что

- -группа. Тогда . Пусть - максимальная подгруппа группы .

Допустим, что

. Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и следовательно, - подгруппа группы , что влечет

Полученное противоречие показывает, что

и поэтому . Значит, , где - минимальная нормальная подгруппа группы порядка и . Следовательно, .

Пусть теперь

и . Пусть - силовская -подгруппа в и - максимальная подгруппа группы , которая содержит . Тогда .

Так как

- циклическая силовская -подгруппа группы , то - -сверхразрешимая группа.

Предположим, что

. Пусть - силовская -подгруппа группы и пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда . Допустим, что . Тогда ввиду леммы , - сверхразрешимая группа, и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как - нормальная максимальная подгруппа в группе , то . Поскольку сверхразрешима, то , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Из того, что - циклическая группа, следует, что . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Предположим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку по условию подгруппы и перестановочны, то

противоречие. Следовательно,

. Пусть теперь - произвольная максимальная подгруппа группы . Поскольку - -максимальлная подгруппа группы , то

Полученное противоречие показывает, что

. Значит, и . Так как - максимальная подгруппа группы , то - минимальная нормальная подгруппа в группе . Из того, что - силовская -подгруппа группы , следует, что . Ясно, что . Следовательно, , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Допустим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Рассуждая как выше видим, что