Поскольку

- ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа

, которая не является нормальной в

. Тогда

. Следовательно,

- примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .
I. Пусть

, где

и

- простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы ,

и

.
Так как

, то

содержится в некоторой максимальной подгруппе

группы

. Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы

и

- максимальная подгруппа группы

. Ясно, что

-

-максимальная подгруппа группы

. Следовательно, для любого

подгруппы

и

перестановочны. Это означает, что

. Поскольку

, то либо

, либо

. Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно,

- единственная максимальная подгруппа группы

, и поэтому

- примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора

,

- примарная циклическая группа.
Пусть

. Тогда

для некоторого

. Пусть

- силовская

-подгруппа группы

,

- силовская

-подгруппа группы

и

- силовская

-подгруппа группы

. Так как

,
то

- группа порядка

и

. Из того, что факторгруппа

сверхразрешима и подгруппа

циклическая, следует, что

- сверхразрешимая группа. Допустим, что

- наибольший простой делитель порядка группы

. Тогда

и поэтому

. Значит,

и

, противоречие. Если

- наибольший простой делитель порядка группы

, то рассуждая как выше видим, что

и

. Полученное противоречие показывает, что

- наибольший простой делитель порядка группы

. Значит,

- нормальная подгруппа в группе

. Если

, то

и

, где

- группа порядка

,

-

-группа. Ясно, что

- единственная

-максимальная подгруппа в

. Поскольку

- неприводимая абелева группа автоморфизмов группы

, то

- циклическая группа и поэтому

- циклическая группа. Следовательно,

- группа типа (2).
Пусть теперь

. Поскольку в группе

все максимальные подгруппы примарны и цикличны, то

и поэтому

.
II. Пусть

. Согласно лемме ,

, где

- минимальная нормальная подгруппа в группе

и либо

, либо

.
1. Пусть

.
Пусть

- силовская

-подгруппа группы

.