(3) Заключительное противоречие.
Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы

группы

имеем

. Так как

, то

. Пусть

-

-максимальная подгруппа группы

. Тогда по условию,

для каждого

. По лемме ,

и поэтому

. Следовательно,

. Это означает, что каждая

-максимальная подгруппа группы

единичная, и следовательно,

- простое число для всех максимальных подгруппы

группы

. Так как

для некоторого простого

, то

- максимальная подгруппа группы

. Это означает, что

-

-максимальная подгруппа группы

.
Предположим, что

. Тогда в

имеется неединичная максимальная подгруппа

. Ясно, что

-

-максимальная подгруппа группы

, и поэтому

перестановочна с

. Следовательно,

, но

. Полученное противоречие показывает, что

.
Поскольку ввиду (1),

, то

- нильпотентная подгруппа.
Из того, что

- неединичная нормальная подгруппа в группе

, следует, что

.
Так как факторгруппа

изоморфна подгруппе группы автоморфизмов

и группа автоморфизмов

группы

простого порядка

является циклической группой порядка

, то

абелева. Из того, что

и

не содержит кубов, следует, что

не содержит кубов. Это означает, что

. Следовательно,

, и поэтому

- нильпотентная подгруппа. Таким образом,

. Полученное противоречие с выбором группы

доказывает лемму.
[4.1]. В примитивной группе
каждая максимальная подгруппа группы
перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
тогда и только тогда, когда группа
имеет вид: (1)

,
где

- группа порядка

и

- группа порядка

, где

;
(2)

,
где

- минимальная нормальная подгруппа в

порядка

и

- группа порядка

, где

;
(3)

,
где

- группа порядка

и

- группа порядка

, где

.
(4)

,
где

- группа порядка

и

- группа порядка

, где

- различные простые делители порядка группы

.