Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть

и

- группы нечетных простых порядков

и

соответственно (

). Тогда

и поэтому найдется такой простой делитель

числа

, который одновременно отличен от

и

. Пусть

, где

- группа порядка

в

. Тогда группа

принадлежит типу (7).
В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее

-максимальными подгруппами.
Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.
Класс
всех таких абелевых групп
,что
не содержит кубов, является формацией. Доказательство.
Пусть

. И пусть

- произвольная нормальная подгруппа группы

. Тогда

абелева. Так как по определению экспоненты

делит

и поскольку

не содержит кубов, то

не содержит кубов. Следовательно,

.
Пусть

и

. Покажем, что

.
Пусть

. Тогда

, где

и

. Так как

, то по определению экспоненты

. Из того, что

и

не содержат кубов, следует, что

не содержит кубов. Поскольку группа

изоморфна подгруппе из

, то

делит

, и поэтому

не содержит кубов. Так как группа

абелева, то

. Следовательно,

- формация. Лемма доказана.
[4.1]. Пусть
, где
- формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы
перестановочна с любой
-максимальной подгруппой группы
, то
. Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть

- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы
группы
, факторгруппа
. Пусть

- максимальная подгруппа группы

и

-

-максимальная подгруппа группы

. Тогда

- максимальная подгруппа группы

и

-

-максимальная подгруппа группы

. Из того, что по условию подгруппы

и

перестановочны, мы имеем

Поскольку

, то

и поэтому по выбору группы

мы заключаем, что

.
(2)
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу
для некоторого простого
, и
где
- максимальная подгруппа группы
с
. Пусть

- минимальная нормальная подгруппа группы

. Ввиду леммы,

- разрешимая группа, и поэтому

- элементарная абелева

-группа для некоторого простого

. Так как

- насыщенная формация , то ввиду (1),

- единственная минимальная нормальная подгруппа группы

и

. Пусть

- максимальная подгруппа группы

, не содержащая

и

. По тождеству Дедекинда, мы имеем

. Из того, что

абелева, следует, что

и поэтому

. Это показывает, что

,

.