Пусть

и

- группа порядка 7. Ввиду леммы ,

- абелева группа порядка 9. Поскольку

изоморфна некоторой подгруппе

порядка 3 из группы автоморфизмов

, то

- группа операторов для

с

. Пусть

. Ясно, что

-

-максимальная подгруппа группы

и

не является нормальной подгруппой группы

. Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы

, отличные от

, цикличны и не являются нормальными подгруппами группы

и поэтому

- группа типа (3).
Пусть теперь

и

- такие простые числа, что

делит

. Тогда если

- группа порядка

, то в группе ее автоморфизмов

имеется подгруппа

порядка

. Пусть

, где

- группа порядка

. Тогда

- группа операторов для

с

и поэтому группа

принадлежит типу (3).
Пусть снова

и

- группы, введенные в примере,

и

, где

Пусть

- канонический эпиморфизм группы

на факторгруппу

. Пусть

- прямое произведение групп

и

с объединенной факторгруппой

(см. лемму ). Пусть

- силовская

-подгруппа группы

. Тогда

, где

и поэтому

, где

Покажем, что

. Поскольку

и

, то

. Следовательно,

и поэтому

. Значит,

. Так как

и

, то

и поэтому

. Пусть

- неединичная подгруппа из

. Ясно, что

. Пусть

. Мы имеем

Значит,

и поэтому

. Следовательно,

- нормальная погруппа в

. Таким образом, группа

принадлежит типу (5).
Пусть

- циклическая группа порядка

, где

- простое нечетное число. Согласно лемме ,

. Пусть теперь

- произвольный простой делитель числа

и

- группа порядка

в

. Обозначим символом

полупрямое произведение

. Пусть

- подгруппа порядка

группы

. Тогда

и поэтому если

, то согласно лемме ,

, что противоречит определению группы

. Следовательно,

, что влечет

. Значит, группа

принадлежит типу(6).