Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 21 из 32)

Пусть

- группа типа (7). Тогда , где - подгруппа группы простого порядка , - подгруппа группы простого порядка и - циклическая -подгруппа группы , которая не является нормальной подгруппой в группе , но максимальная подгруппа группы нормальна в . Покажем, что в группе любая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть - контрпример минимального порядка.

Предположим, что

. Пусть - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что - нормальная подгруппа группы . Следовательно, перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .

Пусть

- подгруппа группы с индексом . Так как , то - неединичная подгруппа группы . Ясно, что - нормальная подгруппа группы . Факторгруппа имеет вид , где - силовская подгруппа порядка , - силовская подгруппа порядка , - циклическая силовская -подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в , но максимальная подгруппа группы нормальна в группе . Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что любая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Пусть - произвольная -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что и . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы , и поэтому

Следовательно, подгруппы

и перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы заканчивает доказательство теоремы.

Если в группе

любая ее

-максимальная подгруппа перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами группы

и

, то

- нильпотентная группа.

Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) - (7).

Хорошо известно, что в группе автоморфизмов

группы кватернионов имеется элемент порядка . Пусть . Тогда принадлежит типу (2). Действительно, пусть - единственная подгруппа порядка 2 группы . Тогда и поэтому . Понятно, что - главный фактор группы и кроме того, . Таким образом, - максимальная подгруппа группы и все максимальные в подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с . Следовательно, - группа Шмидта.