Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 18 из 32)

Из того, что

- нильпотентная подгруппа и - циклическая группа следует, что - нормальная подгруппа в . Следовательно, - нормальная подгруппа в группе , т.е. - группа типа (7).

2. Предположим теперь, что

- ненильпотентная группа.

Из следствия следует, что

, где - группа простого порядка и - циклическая группа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа из нормальна в . Так как - характеристическая подгруппа в и - нормальная подгруппа в , то - нормальная подгруппа в . Из того, что - нормальная максимальная подгруппа в группе , следует, что - группа простого порядка .

Покажем теперь, что

- нормальная подгруппа в группе . Так как , то - -максимальная подгруппа группы . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы для любого . По условию - подгруппа группы . Поскольку порядок

делит

, то . Таким образом для любого , т.е. . Так как - нормальная подгруппа в группе , то , и поэтому . Отсюда получаем, что - нормальная подгруппа в группе . Поскольку - -максимальная подгруппа, то согласно следствия, - нильпотентная группа, и поэтому . Это означает, что - нормальная подгруппа в группе . Таким образом, группа является группой типа (7).

Итак,

- группа одного из типов (1) - (7) теоремы.

Достаточность. Покажем, что в группе

каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть

- группа типа (1) или (2). Ввиду леммы , в группе каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть

- группа типа (3). Тогда и , где - группа простого порядка , - нециклическая группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны. Пусть .

Так как

, то , и поэтому в группе существует нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен . Пусть - произвольная нильпотентная максимальная подгруппа группы с индексом . Тогда . Так как - максимальная подгруппа группы , то - нормальная подгруппа в , и следовательно,