Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 16 из 32)
что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы
. Следовательно, 
.Предположим теперь, что
. Допустим, что 
. Пусть 
- произвольная максимальная подгруппа группы 
и 
- произвольная 
-максимальная подгруппа группы 
. Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в группе 
и поэтому 
- подгруппа группы 
. Используя приведенные выше рассуждения видим, что 
. Полученное противоречие с максимальностью подгруппы 
показывает, что 
. Пусть 
- максимальная подгруппа группы 
, такая что 
. Так как 
, то 
- абелева и поэтому 
. Следовательно, 
. Так как 
, то 
. Из того, что 
получаем, что
, и поэтому 
- нормальная подгруппа в группе 
.Предположим, что в группе
существует подгруппа 
порядка 
, отличная от . Из того, что порядок следует, что - максимальная подгруппа группы . Отсюда следует, что 
- 
-максимальная подгруппа группы 
. Так как по условию подгруппы 
и 
перестановочны, то мы имеем 
Следовательно,
- подгруппа группы , и поэтому 
Это противоречие показывает, что в группе
существует единственная подгруппа порядка 
. Ввиду теоремы , группа является либо группой кватернионов порядка 
, либо является циклической группой порядка 
. В первом случае, подгруппа 
порядка 
группы 
содержится в центре 
группы 
, и поэтому подгруппа 
не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, 
- циклическая подгруппа порядка 
. Понятно, что 
. Если 
, то подгруппа 
нормальна в группе , и поэтому 
. Полученное противоречие показывает, что 
. Таким образом, 
- группа типа (6). Пусть теперь 
. Если порядок , то 
, и поэтому - группа типа (4). Предположим, что порядок 
. Пусть 
- максимальная подгруппа группы и 
- максимальная подгруппа группы 
. Из того, что 
, следует, что - неединичная подгруппа. Так как подгруппа 
нильпотентна, то 
. Но как мы уже знаем, 
- циклическая подгруппа и поэтому 
. Следовательно, 
. Пусть 
- произвольная подгруппа порядка группы 
. Ясно, что 
- 
-максимальная подгруппа группы и - 
-максимальная подгруппа группы . Значит, по условию подгруппы 
и 
перестановочны. Так как - абелева подгруппа, то - нормальная подгруппа в группе . Заметим, что поскольку 
, то