Если в группе

существует подгруппа Шмидта

, индекс которой равен

, то

. Ввиду следствия ,

- группа порядка

.
Пусь

. Допустим, что

- циклическая подгруппа. В этом случае, группа

является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы

показывает, что

- нециклическая подгруппа. Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы

, отличная от

. Если

- нильпотентная подгруппа, то группа

нильпотентна, противоречие. Следовательно,

- группа Шмидта, и поэтому

- циклическая подгруппа. Таким образом, группа

относится к типу (3).
Пусть

. Тогда

. Следовательно,

-

-максимальная подгруппа группы

. Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы

. Если

- нильпотентная подгруппа, то

, и поэтому

. Полученное противоречие показывает, что

- группа Шмидта. Значит,

- циклическая подгруппа. Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы

, отличная от

. Так как

, то

- единственная

-максимальная подгруппа группы

. Следовательно,

. Факторгруппа

, где

- элементарная абелева подгруппа порядка

и

. Так как

- неприводимая абелева группа автоморфизмов группы

, то

- циклическая группа, и поэтому подгруппа

циклическая, противоречие.
Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе

является степенью числа

.
Так как в группе

существуют собственные подгруппы Шмидта, то

. Пусть

- подгруппа Шмидта группы

. Тогда

для некоторого

. Понятно, что для некоторого

имеет место

и поэтому не теряя общности мы может полагать, что

. Поскольку

, то

. Из того, что

, следует, что

.
Так как

- максимальная подгруппа группы

, то по условию 2-максимальные подгруппы группы

перестановочны со всеми максимальными подгруппами в

. Используя следствие, мы видим, что

- группа простого порядка и

- циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы

нормальны в

. Следовательно,

является максимальной подгруппой группы

.
Предположим, что

. Пусть

- максимальная подгруппа группы

. Тогда

. Из того, что

, следует, что

- нильпотентная максимальная подгруппа в

. Значит,

- нормальная подгруппа в

. Поскольку

нормальна в

, то

- нормальная подгруппа группы

. Так как

, то в группе

существует 2-максимальная подгруппа

такая, что

. Тогда

-

-максимальная подгруппа в

, и следовательно,

-

-максимальная подгруппа в

. Поскольку по условию

перестановочна с

, то