Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 14 из 32)

(5)

,

где

- группа порядка , каждая подгруппа которой нормальна в группе , - циклическая -группа и ;

(6)

,

где

- примарная циклическая группа порядка , - группа простого порядка , где и ;

(7)

,

где

и - группы простых порядков и ( ), - циклическая -подгруппа в ( ), которая не является нормальной в , но максимальная подгруппа которой нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Пусть

- ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Если в группе

все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа оказывается группой типа (1) или типа (2).

Итак, мы можем предположить, что в группе

существует ненильпотентная максимальная подгруппа.

Из теоремы следует, что группа

разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то .

I.

.

Пусть

- некоторая силовская -подгруппа в и - некоторая силовская -подгруппа в , где .

Предположим, что в группе

нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа разрешима, то в существует нормальная подгруппа простого индекса, скажем индекса , и она не является нильпотентной группой. Действительно, если нильпотентна, то в ней нормальна силовская -подгруппа . Так как , то - нормальная подгруппа в . Из того, что следует, что - нормальная силовская -подгруппа в . Полученное противоречие показывает, что не является нильпотентной подгруппой.

Так как

является максимальной подгруппой в , то по условию все 2-максимальные подгруппы группы перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду следствия , группа имеет вид , где - группа простого порядка и - циклическая -подгруппа.

Так как

и факторгруппа

изоморфна подгруппе из , то больше .

Если

- нильпотентная группа, то и поэтому согласно теореме Бернсайда , группа -нильпотентна. Но тогда . Полученное противоречие показывает, что является ненильпотентной группой. Так как - нормальная подгруппа в , то ввиду следствия , подгруппа имеет вид , где - циклическая -подгруппа, и, следовательно, . Полученное противоречие показывает, что в группе существует нормальная силовская подгруппа.

Пусть, например, такой является силовская

-подгруппа группы . Пусть . Ясно, что .