Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 13 из 32)

Пусть

- произвольная максимальная подгрупа в и - максимальная подгруппа в . Так как неабелева, то - неединичная подгруппа. Из того, что - максимальная подгруппа в , следует, что - 3-максимальная подгруппа в .

Ввиду леммы (II),

- максимальная подгруппа в . Рассмотрим максимальную в подгруппу , такую что . Тогда

и

- 2-максимальная подгруппа в . По условию подгруппы и перестановочны. Если , то используя лемму (V), имеем

Из того, что

получаем, что порядок делит . Поскольку , то полученное противоречие показывает, что - собственная подгруппа группы . Следовательно, нильпотентна, и поэтому

Значит, либо

- максимальная подгруппа в , либо . В первом случае получаем, что является единственной максимальной подгруппой в . Это означает, что - циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы . Следовательно, первый случай невозможен. Итак, . Ввиду произвольного выбора получаем, что - единственная -максимальная подгруппа в группе . Из теоремы следует, что - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Так как первый случай очевидно невозможен, то - группа кватернионов порядка . Поскольку подгруппа изоморфна погруппе группы автоморфизмов , то . Полученное противоречие с выбором группы доказывает, что либо - группа Миллера-Морена, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

. В ненильпотентной группе

каждая

-максимальная подгруппа группы

перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами группы

тогда и только тогда, когда группа

имеет вид:

(1)

- группа Миллера-Морена;

(2)

- группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и - группа порядка ;

(3)

и ,

где

- группа простого порядка , - нециклическая -группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны;

(4)

,

где

- группа порядка , - группа простого порядка , отличного от ;