Следовательно,

- нормальная подгруппа в

. Согласно лемме ,

-

-нильпотентная группа и поэтому

. Ввиду произвольного выбора

, получаем, что

для любого

и

. Ясно, что

, что противоречит

. Теорема доказана.
Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая

-максимальная подгруппа перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами.
Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.
[3.1]. Пусть
- группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы
перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы
, когда группа
имеет вид: (1)

- группа Миллера-Морено;
(2)

, где

- группа кватернионов порядка

,

- группа порядка

.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что

- группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы

перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы

. Докажем, что в этом случае, либо

- группа Миллера-Морено, либо

, где

- группа кватернионов порядка

и

- группа порядка

. Предположим, что это не так и пусть

- контрпример минимального порядка.
Так как

- группа Шмидта, то ввиду леммы (I),

, где

- силовская

-подгруппа в

,

- циклическая

-подгруппа.
Покажем, что

- группа простого порядка. Предположим, что это не так. Тогда в группе

имеется собственная подгруппа

простого порядка. Ввиду леммы (IV),

и, следовательно,

- нормальная подгруппа в группе

и

- группа Шмидта.
Понятно, что в группе

каждая 2-максимальная подгруппа группы

перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы

.
Поскольку

, то

и поэтому по выбору группы

мы заключаем, что либо

- группа Миллера-Морено, либо

, где

- группа кватернионов порядка

и

- группа порядка

.
В первом случае

- абелева подгруппа и, следовательно,

- группа Миллера-Морено. Полученное противоречие с выбором группы

показывает, что

, где

- группа кватернионов порядка

и

- группа порядка

. Тогда

, где

- группа кватернионов порядка

и

- циклическая группа порядка

. Пусть

- такая максимальная подгруппа группы

, что

. Если

, то

. Поскольку

- группа Шмидта, то

нильпотентна, и поэтому

. Это означает, что

- нормальная подгруппа в группе

. Полученное противоречие показывает, что

. Следовательно,

- максимальная подгруппа группы

. Понятно, что

-

-максимальная подгруппа группы

. Пусть

- подгруппа группы

с индексом

. Ясно, что

-

-макимальная подгруппа группы

. Так как по условию

и

перестановочны, то

- подгруппа группы

, индекс которой равен

. Рассуждая как выше, видим, что

- нормальная подгруппа группы

. Полученное противоречие показывает, что

- группа простого порядка.