(5) Заключительное противоречие.
Из (3) и (4) следует, что

- элементарная абелева

-группа для некоторого простого числа

и поэтому

. Покажем, что

делит

. Если

не делит

, то

-

-группа, и поэтому

, что противоречит выбору группы

. Итак,

делит

. Ввиду леммы ,

.
Пусть

- произвольная максимальная в

подгруппа с индексом

, где

и

. Тогда

, где

- силовская

-подгруппа группы

.
Предположим, что

не является нормальной в

подгруппой. Ясно, что

- максимальная в

подгруппа. Если

- нормальная подгруппа в

, то

. Значит,

не является нормальной подгруппой в

. Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы

. Тогда

-

-максимальная в

подгруппа и поэтому

-

-максимальная в

подгруппа для любого

. Поскольку по условию

-перестановочна с подгруппой

и

, то

перестановочна с подгруппой

и поэтому

. Ясно, что

-

-максимальная в

подгруппа. Так как

и

не является нормальной подгруппой в

, то

и поэтому

- нормальная погруппа в

. Следовательно,

- нормальная в

подгруппа. Это влечет, что

. Ввиду произвольного выбора

, получаем, что каждая максимальная подгруппа группы

нормальна в

. Значит,

- нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в

нормальна в

. Предположим, что

. Поскольку

и

разрешима, то в группе

существует минимальная нормальная

-подгруппа

, где

. Так как

- максимальная в

подгруппа, то

. Это влечет, что

. Следовательно, группа

обладает главным рядом

и поэтому

. Полученное противоречие с выбором группы

показывает, что

. Пусть

- такая максимальная подгруппа группы

, что

. Тогда

. Это влечет

, что противоречие тому, что

.