Биекторы в конечных группах (стр. 6 из 6)

Доказательство. Применим индукцию по

. При имеем класс всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)

Но класс

состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому

Согласно следствию (2) класс

насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.

Лемма Пусть

--- разрешимая группа и

. Если

---

-проектор группы

, то

.

Доказательство. Поскольку

--- насыщенная формация, то -проектор в группе существует согласно следствию . Поскольку , то . Если , то и утверждение доказано. Пусть и . По лемме(2), , а поскольку --- -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.

Теорема Если в разрешимой группе

существует

-биектор и

, то

.

Применим индукцию по порядку группы. Пусть

--- -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что и . Тогда является -биектором подгруппы по лемме и следствию . По индукции ,следовательно, --- максимальная подгруппа группы .

Так как

-- -инъектор группы , то -радикал и . По теореме ,

(2)

Поскольку

- -проектор группы , то и согласно лемме . Следовательно,

(3)

Согласно лемме (2)

, а из равенств (2) и (3) находим, что .Получили противоречие. Теорема доказана.

Заметим что в условии этой теоремы требование

не является лишним. Для в симметрической группе силовская -подгруппа является -биектором.

Заключение

В данной курсовой работе было показано, что

-биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема1 Пусть

--- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе

существует

-биектор

, то

является

-холловской подгруппой группы

.

Теорема2 Пусть

--- радикальный класс Шунка и

--- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе

существует

-биектор, то

.

Теорема 3 Если в разрешимой группе

существует

-биектор и

, то

.

Список использованных источников

Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 -- Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156

Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006

Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. -- М.: Наука. -1989. --- 256с.

Шеметков Л.А., Формации конечных групп. -- М.: Наука. -- 1978. --- 272с.

W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. -- Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. -- Vol. 11. --- 100p.