Биекторы в конечных группах (стр. 4 из 6)

Обратно, пусть

--- -холловская подгруппа и пусть --- -проектор в . Так как , то --- -подгруппа и .

Лемма Если

--- радикальныи класс, то

.

Доказательство. Если

, то в существует субнормальная подгруппа простого порядка , для любого . Поэтому , , и .

Обратно, пусть

, тогда для каждого в существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.

Лемма Пусть

--- радикальный класс и

--- конечная нильпотентная группа. Если

--- подгруппа из

, то

является

-инъектором в

тогда и только тогда, когда

---

-холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть

--- -инъектор в . Так как , то будет -подгруппой в . Если --- -холловская в подгруппа, то и --- -подгруппа. Поэтому .

Обратно, если

--- -холловская подгруппа в , то . Если --- -инъектор, то и --- подгруппа, поэтому . Лемма доказана.

Пусть

, где --- пробегает все группы из . Если --- разрешимый радикальный класс, то .

Следствие Пусть

--- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе

существует

-биектор

и подгруппа

является

-холловской подгруппой группы

.

Доказательство получаем из лемм и .

Следствие Пусть

--- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе

существует

-биектор

и подгруппа

является

-холловской подгруппой группы

.

Обозначим через

совокупность всех -проекторов группы , а через совокупность всех -инъекторов.

Теорема Пусть

--- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе

существует

-биектор

, то

является

-холловской подгруппой группы

.