Биекторы в конечных группах (стр. 3 из 6)

Определение. Пусть

--- класс групп. Подгруппа группы называется

-инъектором, если для каждой субнормальной подгруппы группы пересечение является -максимальной подгруппой в .

Определение. Пусть

--- класс групп. Подгруппа группы называется

-биектором, если является -максимальной подгруппой в , а является -максимальной в для каждой нормальной подгруппы .

Ясно, что

-биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .

Пример Примерами

-биекторов служат силовские

-подгруппы групп для класса

всех

-групп.

Пример В группе

силовская 2-подгруппа является

-биектором.

Пример Группа

не является метанильпотентной, но

-проекторы и

-инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.

4. Биекторы и их свойства

Для локальной формации

каждая конечная разрешимая группа обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если --- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .

В настоящей работе показывается, что

-биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда совпадает с классам всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности это свойство нарушается.

Пусть

--- класс групп. Через обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество называется характеристикой класса

.

Для любого множества простых чисел

через обозначается класс всех нильпотентных -групп.

Лемма Если

--- класс Шунка, то

.

Доказательство. Пусть

. Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если --- произвольная примитивная факторгруппа группы , то имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка существует подгруппа индекса . Так как , то и . Лемма доказана.

Следствие Если

--- локальная формация, то

.

Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.

Лемма Пусть

--- класс Шунка и

--- конечная нильпотентная группа. Если

--- подгруппа из

, то

является

-проектором в

тогда и только тогда, когда

---

-холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть

--- -проtктор в группе . Так как , то по лемме подгруппа является -подгруппой. Пусть --- -холловская в подгруппа. Ясно, что . Nак как , то --- -подгруппа и .