Биекторы в конечных группах (стр. 2 из 6)

Лемма Пусть

--- разрешимая группа, тогда

1) если

, то ;

2) если

, то ;

3) если

, то .

В частности, если

и --- разрешимые группы ;

4)

.

Теорема Для любого класса Шунка

в каждой разрешимой группе

любой

-проектор является

-покрывающей подгруппой и любые две

-покрывающие подгруппы группы

сопряжены между собой.

Лемма Пусть

--- разрешимая группа. Тогда:

1)

;

2)

.

Лемма Для любого гомоморфа

и любой группы

справедливы следующие утверждения:

1) если

- -проектор группы и максимальна в , то - -покрывающая подгруппа группы ;

2) если

- -покрывающая подгруппа в группе и , то - -покрывающая подгруппа в ;

3) если

- -покрывающая подгруппа группы и , то - -покрывающая подгруппа фактор-группы ;

4) если

и --- -покрывающая подгруппа фактор-группы , то каждая -покрывающая подгруппа из является -покрывающей подгруппой из .

Теорема Пусть

--- класс Фиттинга и

--- разрешимая группа. Тогда

является

-инъектором группы

тогда и только тогда, когда

будет

-максимальной в

и

---

-инъектор коммутанта

.

Следствие Пусть

--- класс Фиттинга и

--- разрешимая группа. Если

---

-инъектор группы

и

, то

---

-инъектор в

.

Теорема Если

--- максимальная подгруппа разрешимой группы

, то

,где

.

3. Основные свойства проекторов и инъекторов

Определение. Пусть

--- группа и --- класс групп. Если и , то ---

-подгруппа группы

.

Определение.

-максимальной подгруппой группы

называется такая

-подгруппа группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.

Определение.

-проектором группы

называется такая подгруппа

группы , что , является максимальной в .