´ æ º æ æ Øæ Ł Œ º Œæ æ ßı Łæ º, Ł

α¯_n· γ¯ⁿ+ ... + ¯α₁· γ¯ + ¯α₀= ¯0.

Œ Œ Œ α_iŁ 0 ∈ R, α¯_i= α_i, ¯0 = 0. ˇ º

α_n(¯γ)ⁿ+ ... + α₁γ¯ + α₀= 0.

æ Œ ß , f(¯γ) = 0 æ γ¯ º æ Œ

ª º f_(x). ˇ Œ , Œ æ Œ γ_¯æ æ Œ æ Œ γ. ˇ æ Œ æ γ _k, Œ æ γ_{¯ l}. ˝ Æı Ł Œ , k _{= l}. ˜ æ Ł Ł , æ k 6_{= l}. ˇ æ ,

Ł , k > l, ª f = (x − γ)^k(x − γ¯)^lg(x), ª g(γ) 6= 0,g(¯γ) = 06.

ª f(x) = [(x − γ)(x − γ¯)]^l(x − γ)^k^−lg(x) = [(x − γ)(x − γ¯)]^lg₁(x),

. ˇ º Ł (x − γ)(x − γ¯) ∈ R[x],

´Ł , g₁(x) = (x − γ)^k^−lg(x) Ł γ æ Ł Œ º Ł º Ø

Œ æ Ł, k − l > 0, Ł æ Ł Œ γ¯. Ł Ł

Ł Œ ß Ø Ø. º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł º Ł , l > k.

º _{æ Ł}6.7.1.1_.ø æ Œ º Œæ ß Œ Ł ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł Œ º Œæ æ ß.

¯˛—¯ 6.7.2 ( Ł Ł ßı ª º ı R). _{˝ -}

º Øæ Ł º ßı Łæ º R Ł Ł ß Ł º æ ª º ß

Ø æ Ł Ł Ł º Œ Œ ß ı º ß, ŁæŒ Ł ŁŒ ßı Ł º ßØ.

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) ∈ R[x] Ł degf(x) > 3. ª º

Ł ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ R = C Ł Œ Ø Ł

Œ α. ¯æºŁ α ∈ R , f(x) = (x − α)g(x), ª g(x) ∈ R[x] æ

ª º f Ł Ł R. ¯æºŁ α æ ø æ Œ º Œæ Łæº , α_¯Œ Æ Œ ª º f. ˇ º Ł

f(x) = (x − α)(x − α¯)g(x) = (x²− 2Reα · x + |α|²)g(x).

´ æº

´Ł , f_(x)æ Ł Ł R. ŒŁ Æ , º Æ Ø ª º f, æ Œ ª deg_f> 3, º æ Ł Ł ß R.

ˇ æ f = ax²+bx+c,a 6= 0. ¨ æ , Œ ßØ ı º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ f = a(x−x₁)(x−x₂) R ª Ł

º Œ ª , Œ ª ª ŁæŒ Ł Ł D > 0. ´ æº , ª º

f Ł Ł R. º º , Æ Ł Ł R ª Ł º Œ ª , Œ ª D = b²− 4ac < 0. ª º ß Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

º _{æ Ł}6.7.2.1_.¸ Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º Øæ Ł º ßı Łæ º Ł Œ Ł æŒ æ º Ł Ł :

f = α(x − γ₁)^k¹...(x − γ_t)^k^t(x²+ β₁x + δ₁)^l¹...(x²+ β_rx + δ_r)^l^r,

ª α,β_i,δ_i,γ_j∈ R, β_i²− 4δ_i< 0, k_j,l_i∈ N Ł i = 1,r, j = 1,t.

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

º _{æ Ł}6.7.2.2_.¸ Æ Ø ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł -

Ł Ø æ Ł Ł , Œ Ø , Ł Øæ Ł º ßØ Œ .

˜ Œ º æ . ´ æ º , æº æ Ł 6.7.2.1 degf = k₁+ ... + +k_t+2l₁+...+2l_r. ˇ æº Ł æ f Łæº , æº º k₁+ ... + k_tŁæº , Ł (∃ 1 6 i 6 t) k_i> 1, æ γ_i

º æ Øæ Ł º ß Œ ª º f.

ˆº 7

˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß

ˆº 8

¸Ł Ø ß æ æ

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ

˛ º Ł 8.1.1. ˇ æ k Ł V Ł º ßı æ . ˆ -

, æ V º ł ºª Æ Ł æŒ Ł æ æ º Ł ºŁŒ k, æºŁ Æ Ł Œ ª Ł Ł k × _V→ _V. ˇ Ł Æ ŁŁ, Æ -

ßØ ß (α,a), ª α ∈ k, a ∈ V ß æ Ł Ł α a Ł Æ æ αa.

˙ _Ł8.1.1_.ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ, Ł ß æ V , ß æ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł Ł Ł. ´ Œ æ æ k ø æ ª Æ ßæ º , Œ Æ ßæ ß . º ß º k Æ Æ α,β,γ,α₁,α₂,...

˛ º Ł 8.1.2. ¸Ł Ø ß ( Œ ß ) æ æ º

k ß æ æ V , ææ æ æ º Ø

Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł æŒ º ß º k, º ß Ł æº øŁ æ Ł ŒæŁ .

1. a + b = b + a;

2. a + (b + c) = (a + b) + c;

3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ x ∈ V ) b + x = a;

4. α(a + b) = αa + αb;

5. (α + β)a = αa + βa;

6. (αβ)a = α(βa) = β(αa);

7. 1 · a = a,

ª a,b,c,x ∈ V ; α,β,1 ∈ k.

˙ _Ł8.1.2_.æ V æ ß Æ Łæ ß æ

ºŁ Ø ª æ æ . ¯ª º ß Æ Æ a,b,c,a₁,a₂,...

Ł ß Œ Ł.

Øæ ºŁ Ø ßı æ æ

1. (∀ a ∈ V ) (∃ 0 ∈ V ) a + 0 = a;

2. (∀ a ∈ V ) (∃ (−a) ∈ V ) a + (−a) = 0;

3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ (a − b) ∈ V ) a − b = a + (−b);

4. αa = 0 ⇔ α = 0 ŁºŁ a = 0;

5. α(−a) = (−α)a = −αa;

6. α(a − b) = αa − αb;

7. (α − β)a = αa − βa.

˜ Œ º æ . ŒæŁ ß 1 3 ºŁ Ø ª æ æ Œ ß , (_V,₊₎Æ Ł Ł ª , æ ºŁ ß æ Øæ 1) 3).

4) ˝ Æı Ł æ .

¨ αa = (α + 0)a = αa + 0a ⇒ 0a = αa − αa = 0. ˇ º ,

0a = 0.

8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ

¨ αa = α(a + 0) = αa + α0 ⇒ α0 = αa − αa = 0. ˇ º ,

α0 = 0.

˜ æ æ .

ˇ æ αa _{= 0}. ¯æºŁ α _{= 0}, æ Œ . ¯æºŁ α 6_{= 0}Æ æ ø -

æ α⁻¹∈ k. ª a = 1 · a = (α⁻¹α)a = α⁻¹(αa) = α⁻¹· 0 = 0.

5) — æ Ł αa + α(−a) = α(a + (−a)) = α · 0 = 0 ⇒ α(−a) = −αa.

˜ º , αa + (−α)a = (α + (−α))a = 0 · a = 0 ⇒ (−α)a = −αa.

6) ¨ , α(a − b) = α(a + (−b)) = αa + α(−b) = αa − αb.

7) ˇ æ Ł (α − β)a = (α + (−β))a = αa + (−β)a = αa − βa.

ˇ Ł ß ºŁ Ø ßı æ æ :
1. V = {0} º ºŁ Ø	æ	æ ( Ł Ł º	).
2. V = kⁿ= {(α₁,...,α_n)\|α_i∈ k} æ º k.	Œ	Ł ºŁ Ø	æ -
3. V = M(m×n,k) Ł ß	æ Ł m×_næ º	Ł Ł k.
4. V _{= L}æ ł ŁØ ŁØ.	Ø æŁæ ß ºŁ	Ø ßı -
5. V = k[x] æ ª º Ł Ł Ł Ł k. 6. V = {f(x) ∈ k[x]\|deg f 6 n}.	ª Ł æ	ª æ Œ -
8.2 ˚ ß Ł Æ æŒ		ß	ºŁ Ø ß
æ æ . ` Łæ ºŁ		Ø ª æ	æ
¸ ªŒ Ł , æ ß Ł		Ł Œ ß, º	ß Œ -
Ł ºŁ Ø æ æ		æ æ Ææ Œ	ß ºŁ Ø ß

æ æ . æ , Ł Ł Ł Œ ß Łæ º ºŁ

Алгебра (стр. 9 из 20)

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ