Алгебра (стр. 8 из 20)

º R. ª R ⊂ R. ˜ º , ª º x² ₊₁ Ł Œ R, æ i ∈ R. ß º æ ª Ł º Œ ª , Œ ª (∀ x,y ∈ R) x + +yi ∈ R, æ C ⊂ R. ¨ R ⊂ C ⊂ R. ˇ 6.6.2 C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º Ł 6.6.3 Ł C = R.

ˇ æ γ₁,γ₂,...,γ_n º ß º k.

˛ º Ł 6.6.4. º ß Ł æŁ Ł æŒŁ Ł ª º Ł º γ1,...,γn ß æ æ ß Ł :

σ₁ = γ₁ + γ₂ + ... + γ_n;

σ₂ = γ₁γ₂ + γ₁γ₃ + ... + γ₁γ_n + γ₂γ₃ + ... + γ₂γ_n + ... + γ_n−1γ_n;

...

;

σ_n = γ₁ ...γ_n.

ˇ º Ł 6.6.1. ¯æºŁ γ₁,γ₂,...,γ_n ∈ k,

f(x) = (x+γ₁)(x+γ₂)...(x+γ_n) = xⁿ +σ₁xⁿ⁻¹ +...+σ_kx^n−k +...+σ_n,

ª σ₁,σ₂,...,σ_n º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ₁,γ₂,...,γ_n.

6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º

˜ Œ º æ . Æß æ Ł Œ , æ -

Ł æŒ ÆŒŁ æ øŁ æº Ł Ł æ Ł Æ ß æº ª ß .

º æ Ł . ¯æºŁ γ₁,γ₂,...,γ_n ∈ k, f(x) = (x − γ₁)(x − γ₂)...(x −

− γn) = xn − σ1xn−1 + σ2xn−2 − ... + (−1)kσkxn−k + ... + (−1)nσn,

ª σ₁,σ₂,...,σ_n º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ₁,γ₂,...,γ_n.

˜ Œ	º æ	. ´ æ	º , æ º	ŁŁ 6.6.1	æ
γi	æ	Ł	−γi. ª	σk Ł æ (−1)kσk Ł	æ ß æº	æ Ł

Æ æ º .

¯˛—¯ 6.6.3 (	´Ł	). ˇ æ	f(x) = xn + α1xn−1 +
+ α2xn−2 + ... + αn Ł	ª	º Ł	ºª Æ Ł æŒ ß-

Œ ŁŁ k Œ Ł γ₁,γ₂,...,γ_n. ª σ_k = (−1)^kα_k, ª σ₁,σ₂,...,σ_n

º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß Œ Ø γ₁,γ₁,...,γ_n.

˜ Œ º æ . ˝ º k

ª º

f(x) = (x − γ₁)(x − γ₂)...(x − γ_n),

ª γ₁,γ₂,...,γ_n Œ Ł f(x) k. ˇ æº æ Ł Ł º Ł 6.6.1

Ł :

f(x) = xⁿ − σ₁xⁿ⁻¹ + σ₂xⁿ⁻² − ... + (−1)^kσ_kx^n−k + ... + (−1)ⁿσ_n.

ª Ø æ ß, æº Ł f(x) = xⁿ +α₁xⁿ⁻¹ +...+α_n. ŒŁ Æ -

Ł ß Ł ª Ł ª ª º Æß øŁ æ x. ª , Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x º ß æ . ¨ −σ₁ = α₁, σ₂ = α₂,...,(−1)^kσ_k = α_k,...,(−1)ⁿσ_n =

= α_n. ¨ (∀ 1 6 k 6 n) (−1)^kσ_k = α_k. Ł (−1)^k, º Ł

σ_k = (−1)^kα_k.

32

æ ßØ æº Ø ß 6.6.3:

n=2, f(x) = x² + px + q. ˇ æ x₁, x₂ Œ Ł f(x), ª

( σ₁ = x₁ + x₂ = −p; σ₂ = x₁ · x₂ = q.

n=3, f(x) = x³ + px² + qx + r. ˇ æ x₁, x₂ x₃ Œ Ł f(x), ª



^_ σ1 = x1 + x2 + x3 = −p; σ₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = q; .

 σ3 = x1x2x3 = −r

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k ₌ C. ˇ æ Ø ºª Æ ß, º

C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º ß º

C ƺ º Æß Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1. ´ æ æ Ł, Ł Ł ß Ł º C º æ ª º ß º Œ Ø æ Ł. ˜ º , º Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º C Ł , Œ Ø , Ł Œ . ˝ Œ , Œ Ł æŒ º Ł º Æ ª ª º f º Ł º Ø æ Ł º C Ł Ł :

f(x) = α(x − γ₁)^k1(x − γ₂)^k2 ...(x − γ_t)^kt,

ª γ₁,γ₂,...,γ_t ∈ C.

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k = R. ˇ æ γ = α+β_i, ª α,β ∈ R, β 6=

6_{= 0}. ´ æº ª , γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

ˇ º Ł 6.7.1. ¯æºŁ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº ,

ª º (x−γ)(x−γ) º æ Œ ß ı º æ Øæ Łº ß Ł Œ Ł Ł Ł Ł Ł º ß ŁæŒ Ł Ł .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (x − γ)(x − γ¯) = x² − (γ + ¯γ)x + γγ¯ =

= x² −2αx+α² +β² ∈ R[x], ª D = (−2α)² −4(α² +β²) = −4β² < 0,

Œ Œ Œ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

¯˛—¯ 6.7.1. ¯æºŁ æ ø æ Œ º Œæ Łæº γ º æ

Œ ª º f æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł, Œ -

º Œæ æ Łæº γ¯ Œ º æ Œ ª ª º Ł Ł Ø Œ æ Ł, Ł Œ γ.

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) = α_nxⁿ + ... + α₁x + α₀, ª α_i ∈ R Ł γ æ ø æ Œ º Œæ ßØ Œ f(x), æ f(γ) = 0.

α_nγⁿ + ... + α₁γ + α₀ = 0.

ˇ Ø Œ Œ º Œæ æ ß Łæº , º Ł

α_nγⁿ + ... + α₁γ + α₀ = 0.