Алгебра (стр. 7 из 20)

º Ł 6.5.1 f⁰ = nα_nxⁿ⁻¹ +...+α₁. łŁØ Œ Ł Ł -

ª º f⁰ nα_n, ª n ∈ N, α_n 6= 0. ª nα_n 6= 0, æº º

f⁰ 6= 0 Ł degf⁰ = n − 1.

¯˛—¯ 6.5.2. ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł Ł

Ł Ł ßØ Ł º P Ł º Ł º Œ æ k

ª º f. ª Ł Ł ßØ Ł º P Ł Œ æ k − 1 Ł Ø f⁰.

6.5. ˇ Ł Ł Œ æ

˜ Œ º æ . ¨ f = P ^lg, ª P - g. æ Ł f⁰ = lP ^l−1P ⁰g +

+ P ^lg⁰ = P ^l−1(lP ⁰g + Pg⁰). ´Ł , P ^l−1|f⁰, æ Œ æ P f⁰ ł , l ₋₁. ˇ Œ , P ^l - f⁰. ˜ æ Ł Ł , æ

P ^l|f⁰. ª P|(lP ⁰g + Pg⁰). ´Ł , P|Pg⁰, æº º P|(lP ⁰g). æ , (P,l) = 1. ˇ º P ⁰ 6= 0 Ł degP ⁰ < degP ⇒ (P,P ⁰) = 1. ˇ æ Øæ 3 ß 6.4.1 Ł , P_|g, Ł Ł , . º º P ^l - f⁰ Ł Œ æ P æ æ f⁰ _l − ₁.

º _{æ Ł} 6.5.2.1_. º γ Ł Œ æ k ª º f ª Ł

º Œ ª , Œ ª f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(k−1)(γ) = 0, f^(k)(γ) 6= 0.

˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı Ł æ .

ˇ æ γ Ł Œ æ k ª º f. ˇ º Ł -

, (_x − _γ) Ł Œ æ k ª º f. ˇ 6.5.2

x − γ Ł Œ æ k − 1 f⁰, x − γ Ł Œ æ k − 2 f⁰⁰, ..., x−γ Ł Œ æ 1 f(k−1), x−γ Ł Œ æ 0 f(k). ˇ Ł

º Ł 6.4.1 f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(k−1)(γ) = 0, f^(k)(γ) 6= 0.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(k−1)(γ) = 0, f^(k)(γ) 6= 0. ˇ æ Œ -

æ γ ª º f _l .˝ Œ , l _{= k}. ˜ æ Ł

Ł . ˇ æ , Ł , l < k. ª Ø æ Ł Œ º -

æ Æ Ł f(γ) = f⁰(γ) = ... = f^(l−1)(γ) = 0, f^(l)(γ) 6= 0. ª

Æß , æº Ł f^(l)(γ) = 0 Œ Œ Œ l 6 k−1. -

º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł Ł º Ł , l > k.

º æ Ł 6.5.2.2. ˚ æ º γ ª º f Ł ł Œ Ł Ø ª º f, Ł ø ª γ æ Ł Œ .

¯˛—¯ 6.5.3 ( Æ º ŁŁ Œ ßı Ł º Ø). _{ˇ æ}

f ª º º Ł º Ø æ Ł º k. ª ª º

Ł æ ß Ł Ł ß Ł ºŁ, Ł

ª º f, º Œ Ø Œ æ Ł.

˜ Œ º æ . ˇ æ

Œ Ł æŒ º Ł

ª º f. ª 6.5.2

ª (∀ 1 6 i 6 t) P_i - g.

æ Ł

.

6.6 ºª Æ Ł	æŒŁ Œ ß	º
ˇ æ k æ	º .
¯˛—¯ 6.6.1 (	æŁº ßı æº	Ł ı, º øŁı º-
ª Æ Ł æŒŁ Œ	º ). ˛ æŁ	º ŁŒæŁ	ª æ-
ª º k æ	ºŁ ß æº øŁ	æŁº ß	Ł .
1) º Æ Ø ª º	f º Ł º Ø æ	Ł æ Œ Ł Ł	Ł Ł
º k, Ł	º k, Œ Ø Ø	, Ł Œ ;
2) Ł Ł ß Ł æ Ł;	º k º æ	ª º ß º Œ	Ø
3) ª º º ºŁ;	k æ æ º	k ºŁ Ø ß	Ł-
4) º Æ Ø ª º	f º Ł º Ø æ	Ł æ Œ Ł Ł	Ł Ł
º k Ł	º k æ º Œ Œ Ø æ Łı Œ		æ Ø,

Œ Œ æ ª º f.

˜ Œ º æ . 1) ⇒ 2)

ˇ æ f º Æ Ø ª º , deg_f > 2. ª æº Ł 1)

ª º Ł º k Œ Ø Ł Œ γ. ª -

º Ł 6.4.1 f _{= (x}−_γ)g. º º f º æ Ł Ł ß k.

6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º

2) ⇒ 3)

ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł. ª 6.4.2 ª æ Ł Ł f = αP1 · P2 · ... · Ps, ª α ∈ k∗, Pi Ł ß Ł Ł ß k ª º ß. ¨ æº Ł 2) æº , Pi = x − γi ⇒ f = α(x − γ1)(x − γ2)...(x − γn). ŒŁ Æ
ª º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ. 3) ⇒ 4)
¨ f = α(x − γ1)(x − γ2)...(x − γs). ˛Æœ Ł Œ ßı Ł º Ø æ Ł.	Ł Ł Ł Ł
f = (x − γ1)k1(x − γ2)k2 ...(x − γt)kt,	ki ∈ N.
´Ł , γ1,...,γt Œ Ł ª º f æ Œ	æ Ł k1,...,kt Ł
degf = k1 +...+kt. ŒŁ Æ Łæº Œ Ø Łı Œ æ Ø æ Ł ª º f. 4) ⇒ 1)	ª º f æ
ˇ æ ª º f Ł deg > 0. ª æº	Ł 4) k1 +k2 +...+
+ kt = degf > 1 ⇒ (∃ 1 6 i 6 t) ki > 1. ˙ Ł ,	ª º f Ł

Œ Ø Ø Œ γ_i.

˛ º Ł 6.6.1. ˇ º k ß æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , æºŁ º º Æ Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1.

˙ _Ł 6.6.1_. ˇ º Q Ł R º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß Ł, Œ Œ Œ ß º æ 1) æº Ł ß 6.6.1. ˇ Ł æº -

Ł ª º f _{= x}² _{+ 1}. ˛ Ł Ł ª Œ Ł º Q,

Ł º R.

˛ º Ł 6.6.2. ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º k ß æ Ł ł ºª Æ Ł æŒŁ Œ æłŁ Ł º k.

˛ º Ł 6.6.3. ˇ º k

ß æ ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º k, æºŁ ß º ß æº øŁ 3 æº Ł :

2. k º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º ;
3. æºŁ k ⊂ k0 ⊂ k Ł k0 ºª Æ Ł æŒŁ Œ º ,	k0 = k.
¯˛—¯ 6.6.2 ( æ ºª Æ ß). ˇ º Œ Łæ º C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º .	º Œæ ßı
º æ Ł 6.6.2.1. ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º Øæ Łæ º R º æ º Œ º Œæ ßı Łæ º, æ R = C.	Ł º ßı
˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ R ºª Æ Ł æŒ	ߌ Ł

;