ª º ß u₁,u₂,...,u_s∈ k[x] ŒŁ , d = u₁f₁+...+u_sf_s. — ºŁ

Æ æ Ł æ

, Ł æ Øæ 1 æº ,

3) Œ Œ Œ (f,g) = 1, 6.3.4 ∃ u,v ∈ k[x] 1 = uf +

+ vh. Œ Œ Œ (g,h) = 1, (∃ u₁,v₁∈ k[x]) 1 = u₁g + v₁h. ˇ º

Ł Ł æ ł Ł . 1 = (uu₁)fg + (vu₁g + uv₁f + vv₁h)h. ˇ

æ Øæ 1 Ł ºŁ Ø Œ ÆŁ Ł ª º fg Ł h

Ł Ł , æº º (fg,h) = 1.

4) Œ Œ Œ (h,g) = 1, ∃ u,v ∈ k[x] uh + vg = 1. Ł Æ æ Ł ª æ f, º Ł uhf + vgf = f. Œ Œ Œ h|fg,

fg = qh, ª uhf + vqh = f ⇒ (uf + vq)h = f ⇒ h|f.

5) Œ Œ Œ h|f, f = qh. ¨ g|qh Ł (g,h) = 1, æ Øæ 4 º , g|q, æº º q = q₁g. ŒŁ Æ f = q₁gh ⇒

⇒ gh|f.

` ææ Ł æŁæ ª º {f₁,f₂,...,f_s},

Œ ßØ Ł Œ ßı º . ˜º ŒŁı æŁæ ª º Ł º -

Ł Ł Ł ł ª Æø ª Œ ª (˝˛˚) æı , º ªŁ Ø Ł Ł ˝˛˜.

˛ º Ł 6.3.9. ª º m ß æ ÆøŁ Œ ß æŁæ ß

ª º {f1,f2,...,fs}, Œ ßØ Ł Œ ßı ºŁ º , æºŁ ºŁ æ æ ª º ß Ø æŁæ ß, æ (∀ ₁6 i 6 s_{) f}_i|_m.

¯˛—¯ 6.3.6. ˇ æ {f₁,f₂,...,f_s} æŁæ º ßı ª -

º Ł m 6= 0 ( Œ ßØ º Ø ª º ). — æŁº ß æº øŁ Ł :

1) æ Œ æ Œ ßı ª º m æ æ æ Œ æ

˛˚ æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s};

2) ª º m º æ ˛˚ {f₁,f₂,...,f_s}, Œ ºŁ º Æ ª ˛˚ Ø æŁæ ß.

˛ º	Ł 6.3.10. ˝ Ł łŁ ÆøŁ Œ		ß (˝˛˚) æŁæ	ß
ª º	{f₁,f₂,...,f_s} ß	æ º Æ Ø	º Ø ª º	m,
º	øŁØ º Æ Ł	æŁº ßı æº	ŁØ ß 6.3.6.
˛ º	Ł 6.3.11. ˝˛˚ æŁæ	ß ª º	ß æ Œ	Æ-
ø Œ	Ø æŁæ ß, Œ	ºŁ º Æ	ª Æø Œ
Ø æŁæ	ß ª º .
º æ Ł	6.3.6.1_.¯æºŁ ˝˛˚ æŁæ	ß ª º	æ ø æ ,
º	æ æ ææ ŁŁ	æ Ł.

¯˛—¯ 6.3.7. ¯æºŁ æ ø æ ˝˛˚ 2-ı º Æßı º ßı -

ª º , æ ø æ ˝˛˚ Ł º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º -

, Ł Ł æ æº ø Ł Œ Ł º :

HOK{f₁,f₂,...,f_s₋₁,f_s} = HOK{HOK{f₁,f₂,...,f_s₋₁},f_s}.

6.3.7 æ Ł ı Ł ˝˛˚ æŁæ ß ª º Œ ı Ł ˝˛˚ 2-ı ª º .

¯˛—¯ 6.3.8. ¯æºŁ f Ł g º ßı ª º , Łı ˝˛˚

˜ Œ

º æ

. ˛Æ

^fg. ´Ł

= m

(f,g)

æ ø æ Ł

æ m º æ ˛˚ ª º {_f,g}. ˇ æ M	º Æ	˛˚ {f,g}.
, M = uf, M = vg ⇒ uf = vg. — ª æ (f,g). ˇ º Ł	ºŁ	Æ æ Ł

ˇ æ Øæ 2 ß 6.3.5 Ł

. ˇ 4 æ Øæ -

ß 6.3.5 Ł

. ª u = ₍

_f,g^g₎q. M = uf = ₍

_f,g^fg₎q = mq. ´Ł , m|_M. ˇ º Ł 6.3.11 m º æ ˝˛˚ {_f,g}.

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ

ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł, α ∈ _k^∗_{= k}\{₀}. ¨ æ ,

α|f Ł αf|f.

˛ º Ł 6.4.1. Ł Ł º ß Ł ºŁ º Ł ª º f º Ł-

º Ø æ Ł ß æ º ß Œ æ ß Ł ª º ß, ææ ŁŁ ß æ ª º f.

º _{æ Ł .}˜ ºŁ º d ª º f º æ Ł Ł º ß ª Ł

º Œ ª , Œ ª 0 < degd < degf.

º _{æ Ł .}ª º f º Ł º Ø æ Ł Ł Ł Ł º ß

ºŁ ºŁ ª Ł º Œ ª , Œ ª ª æ Ł Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł ª º

f, æ (∃ u,v ∈ k[x]) f = uv, ª degu,degv < degf.

˛ º Ł 6.4.2. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k, æºŁ Ł Ł º º Œ Ł Ł º ß ºŁ ºŁ. ´ Ł æº , ª º P ß æ

Ł Ł ß .

˛ º Ł 6.4.3. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k, æºŁ ª º æ Ł Ł º Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł

ª º P.

˙ _Ł6.4.1_.ˇ Ł Ł Ł æ Ł æ ø æ ŁæŁ æ-

ª º k. Œ, Ł , ª º f = x²−2 = (x+√2)(

x−√2)

Ł Ł º Q. ˝ Ł Ł º R.

˙ _Ł6.4.2_.ª º ß 1-Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

æº Ł ª , ª º ß 1-Ø æ Ł Ł º Œ Ł-

Ł º ß ºŁ ºŁ.

¯˛—¯ 6.4.1 (æ Øæ Ł Ł ßı ª º ). ºŁ ß æº øŁ Ł :

1. ¯æºŁ ª º P º æ Ł Ł ß , Ł º Æ Ø ææ ŁŁßØ æ Ł ª º Œ º æ Ł Ł ß .

2. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º , f º Æ Ø ª º , ºŁÆ

(P,f) = 1, ºŁÆ P|f.

3. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º Ł P|fg, P|f ŁºŁ P|g.

4. ¯æºŁ P Ł Q Ł Ł ßı ª º , ºŁÆ (P,Q) = 1, ºŁÆ P Ł Q ææ ŁŁ ß.

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ P Ł Ł ßØ ª º . — ææ Ł αP, ª α ∈ _k^∗. ˝ Œ , αP º æ Ł Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ αP æ Ł Ł º ßØ ºŁ º , æ

(∃ d ∈ k[x]) d|αP, ª 0 < degd < degαP = degP. ¨ , d|αP Ł αP|P ⇒ d|P Ł 0 < degd < degP. Ł Ł Ł Ł æ Ł ª º P.

2) ˛Æ Ł (P,f) = d. ¨ d|P. Œ Œ Œ P Ł Ł , d

º Æß Ł Ł º ß ºŁ º , æ ºŁÆ d _{= α ∈ k}^∗, ºŁÆ d ∼ P. ´ æº Ł (P,f) = 1. ´ æº , Ł P|d

Ł d|f ⇒ P|f.

3) ˇ æ P|_fg. ¯æºŁ P|_f, æ Œ . ¯æºŁ P - f, æ Øæ 2 (P,f) = 1. ¨ Œ, P|fg Ł (P,f) = 1, ª æ Øæ 4 ß 6.3.5

P|g.

4) ˇ æ P Ł Q Ł Ł ßı ª º . ¯æºŁ (_P,Q_{) = 1},

Алгебра (стр. 5 из 20)

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ