Алгебра (стр. 20 из 20)

Œ æ Æ Łæ V ⁰. ˇ V ⁰ = {βa|β ∈ k}. æ Ł

f(βa) = βf(a) = β(αa) = (βα)a ∈ V ⁰. ŒŁ Æ f(V ⁰) ⊂ V ⁰, æ

V ⁰ Ł Ł æ æ . ŒŁ Æ Ł Ł -

9.6. Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª Ł Ł ß

ßı Ł Ł ßı æ æ Ł Ł æ Œ Ł Ł º ßı

Œ a ∈ V 0, º Œ ßı f(a) = αa, ª α ∈ k. ˛ º Ł 9.6.2. Œ º α ß æ æ Ææ ß Ł ºŁ- Ø ª f ∈ L(V ), æºŁ æ ø æ º Ø Œ a ∈ V Œ Ø, f(a) = αa. ´ æº Œ a ß æ æ Ææ ß
Œ	ºŁ Ø ª f, Ł º øŁ æŒ º α.
´	æº ª , α Ł a æ Ł º	øŁ ª ª
æ Ææ	Ł Ł æ Ææ ßØ Œ ºŁ Ø ª	f.
˛	º Ł 9.6.3. ˆ , æŒ º α Ł º	Ø æ ºÆ X 6= 0
Ł kn	æ Ł º øŁ ª ª æ Ææ	Ł Ł æ Ææ -
ßØ	Œ Ł ß A ∈ M(n,k), æºŁ AX = αX.
ˇ	º Ł 9.6.1. ˜º ª , Æß æŒ º α Ł	Œ a ∈ V ÆߺŁ
Ł	º øŁ Ł ª ª æ Ææ ß Ł	Ł æ Ææ ß
Œ	ºŁ Ø ª f Œ ª ºŁ	Ø ª æ -
æ	V Æı Ł Ł æ , Æß α Ł Œ	Ł ßØ æ ºÆ
aˇ	æŁ º Œ ª Æ Łæ ÆߺŁ Ł º	øŁ Ł ª ª
æ Ææ	ß Ł Ł æ Ææ ß Œ	Ł ß Af ª
ºŁ Ø ª æŁ º ª Æ Łæ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ f(a) = αa, ª a 6= 0 Ł α ∈ k,

ª f(a) = αa ⇔ f(^ˇa) = αaˇ ⇔ A_faˇ = αaˇ. ˇ Ł aˇ 6= 0 ⇔ a 6= 0.

¯˛—¯ 9.6.1 (Œ Ł			ŁØ æ Ææ	ª Ł ). ˜º		ª ,
Æß æŒ º α Æߺ æ Ææ			ß	Ł Ł ß A (ºŁ		Ø ª
Œ ª			æ æ	) Æı Ł Ł æ		,
Æß α Æߺ ı Œ Łæ Ł			æŒŁ Œ	Ł ß A (ºŁ Ø		ª -
), º øŁ æ			º .
˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı			Ł æ .
ˇ æ α º æ æ Ææ		ß Ł			Ł ß A,		,
AX = αX,			(9.2)
ª	X 6= 0 Ł X ∈ kn. ˇ	Łł æ (9.2): αEX − AX = 0,
(αE − A)X = 0.			(9.3)
˝	æ (9.3)	æ Œ Œ			æŁæ		n-
ºŁ	Ø ßı ŁØ æ n	Ł æ ß Ł. æŁæ			Łæ		-
Ł	Ł . ´Ł ,	º ß ł Ł			Ø æŁæ ß		º æ
æ	ºÆ X ∈ kn, X 6= 0.	ª æº æ Ł Ł Œ Ł Ł ºŁ Ł					-

º ª ł Ł ˛ ¸ æº , ºŁ º æŁæ ß (9.3) º

Æß º , æ |αE − A| = 0. ŒŁ Æ χ_A(α) = 0, æº º α º æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł ß A Ł α _{∈ k}.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ α _{∈ k} Ł α º æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł ß A.

ª χ_A(α) = 0, , |αE−A| = 0. — ææ Ł æŁæ n-ºŁ Ø ßı ŁØ æ n Ł æ ß Ł (9.3)

(αE − α)X = 0,

ª X æ ºÆ Ł æ ßı. ˇ æº æ Ł Ł Œ Ł Ł ºŁ Ł -

º ª ł Ł ˛ ¸ æº , æŁæ (9.3) Ł º ł Ł X 6_{= 0}. º ł Ł X ∈ _kⁿ, Œ Œ Œ º ß -

Ł ß (_αE − _A) Ł º º k. ˇ æ Ł º ł Ł æŁæ (9.3) º Ł æ . ` Ł αEX − AX = 0,

æ AX = αX, ª X 6= 0 Ł X ∈ kⁿ. ˇ º Ł 9.6.2 Ł , α

º æ æ Ææ ß Ł Ł ß A.

º _{æ Ł} 9.6.1.1_. ¯æºŁ æ º k ºª Æ Ł æŒŁ Œ , æ æ Ææ ß Ł Ł ß A æ æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Ł

Œ Ł.