Алгебра (стр. 19 из 20)

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

˛ º Ł 9.5.2. Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł Ø º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A ß æ λ- Ł Ł λE − _A, æ

  λ − α11 −α12 ... −α1n    α21 λ − α22 ... α2n  λE − A =  .  ... ... ... ...     −αn1 −αn2 ... λ − αnn
˛ º Ł 9.5.3. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º º	æŒ º	Ø
Ł ß A ß æ ºŁ º , ßØ ı Œ Ł Ø º Ł ß A.	Łæ Ł	æŒ Ø
Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß A Æ χA(λ) = |λE − A|.	æ

˛ º Ł 9.5.4. º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A (Tr_(A)) ß æ æ º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˝ Ø Ł ß A

(N_(A)) ß æ ºŁ º .

º Ł ,

Tr(A) = α₁₁ + α₂₂ + ... + α_nn, N(A) = |A|.

æ , Tr(αA + βB) = αTr(A) + βTr(B); N(AB) = N(A) · N(B).

¯˛—¯ 9.5.1 ( æ ŁŁ ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º -

). Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º º æŒ º Ø Ł ß A º æ Ł ß ª º λ æ Ł n, Ł øŁ æº -

øŁØ Ł : χ_A(λ) = λⁿ − Tr(A)λⁿ⁻¹ + ... + (−1)ⁿN(A).

˜ Œ º æ . ¨ ,

ø (_n! − ₁₎ æº ª ßı.

´ æ łŁıæ (_{n! − 1)} æº ª ßı æ æ Œ Ø Ø

º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˇ æ łŁ æ æº ª ß ª æ λ ßł , n _{− 2}. º ª ß æ λⁿ Ł æ λⁿ⁻¹ º æ æ Ł Ł (_∗). ´ Ł Ł (_{∗) λ}ⁿ ı Ł æ Œ Ł Ł 1.

˚ Ł Ł Ł λⁿ⁻¹ −α₁₁−α₂₂−...−α_nn = −Tr(A). ˇ º

χ_A(λ) = λⁿ − Tr(A)λⁿ⁻¹ + α_n−2λⁿ⁻² + ... + α₁λ + α₀, ª α₀ = χ_A(0) = = |0 · E − A| = | − A| = (−1)ⁿ|A| = (−1)ⁿN(A).

˛ º Ł 9.5.5.	Œ Łæ Ł	æŒŁ Ł Œ	Ł ( Łæº Ł)	Ł-
ß A ß æ æ	n Œ Ø ı	Œ Łæ Ł	æŒ ª ª º	, º -
øŁ , Æø ª	, ºª Æ Ł	æŒ ßŒ	ŁŁ æ ª	º k.
˙ Ł 9.5.1. ´ æ	æ	º k	Æø Æß	ı Œ-

Łæ Ł æŒŁı Œ Ø, ŁºŁ Łı Æß ł , n.

ˇ Ł : k ₌ R,

!

;

.

χ_A(λ) = 0 ⇒ λ² + 1 = 0 ⇒ λ₁ = i, λ₂ = −i. ´Ł , λ₁,λ₂ ∈/ ∈_/ R, λ_1,λ2 ∈ R = C. ´ º Øł ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł Ł ß

A Æ Æ λ₁,λ₂,...,λ_n.

º _{æ Ł} 9.5.1.1_. ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø Ł ß A

æº , Ł Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø .

˜ Œ _{º æ .} ß Œ Ł ß 9.5.1 Ł ß ´Ł . ˜ Øæ Ł º ,

λ₁ + λ₂ + ... + λ₊n = −(−Tr(A)) = Tr(A),

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

λ₁,λ₂,...,λ_n = (−1)ⁿ · (−1)ⁿ · N(A) = N(A).

º _{æ Ł} 9.5.1.2_. ˚ Ł A æ Æ ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Łæº ºŁ ß º .

˜ Œ º æ . ´ æ º , |A| 6= 0 ⇔ N(A) = 06 ⇔ λ₁ ·λ₂ ·...·λ_n 6= 0 ⇔ (∀ 1 6 i 6 n) λ_i 6= 0.

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k Ł f ∈ L(V ).

ˇ æ e_˜ Æ Łæ V Ł A_f|e˜ Ł f æŁ º Æ Łæ e_˜. Œ Œ Œ

Ł ŁæŁ Æ Łæ , Ł ı Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł ß

º ºŁ Ø ª Ł æ .

ˇ º Ł 9.5.1. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ß Æ ßı Ł ß.

˜ Œ º æ . ˇ æ B ∼ A, æ (∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q⁻¹AQ. — ææ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß B. χ_{B(λ) =} |_λE −

− B| = |λE − Q⁻¹AQ| = |Q⁻¹(λE)Q − Q⁻¹AQ| = |Q⁻¹(λE − A)Q| = = |Q⁻¹||λE − A||Q| = |λE − A| = χ_A(λ).

º _{æ Ł .} º ß Ł ß Æ ßı Ł ß.

º _{æ Ł .} Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ºŁ Ø ª -

ŁæŁ ßÆ Æ Łæ , æŁ º Œ ª æ Łº æ -

Ł , ŁæŁ º Œ æ ª ºŁ Ø ª .

˛ º Ł 9.5.6. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ºŁ Ø ª ß æ ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ª ºŁ ت æŁ º º Æ ª Æ Łæ .

˛Æ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º ºŁ Ø ª f -

χ_f(λ). ª χ_f(λ) = χ_Af (λ).

˛ º Ł 9.5.7. º Tr_(f) Ł Ø N_(f) ºŁ Ø ª

f ß æ æº Ł Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ-

º º Æ ª Æ Łæ .

˛ º Ł 9.5.8. Œ Łæ Ł æŒŁ Ł Œ Ł ºŁ Ø ª ß æ æ Œ Ł ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º ª ºŁØ ª , º øŁ , Æø æº , ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ æ ª º .

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª Ł Ł ß

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k, f ∈ _{L(V )}. ˇ æ V ⁰

ºŁ Ø æ æ æ æ V . ´ Æø æº f_(V ⁰₎ ⊂ _V ,

Æß Œ, f(V ⁰) ⊂ V ⁰.

˛ º Ł 9.6.1. ˇ æ æ V ⁰ ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Ł Ł ß æŁ º ºŁ Ø ª f ∈ _{L(V )},

æºŁ f_(V ⁰₎ ⊂ _V ⁰, æ º Æ Ø Œ Ł æ æ V ⁰ ı Ł

Œ ª æ æ .

˙ Ø æ Ł Ł ßı Ł Ł ßı æ æ . ˇ æ V ⁰ Ł Ł æ æ . ´ º Æ Ø

Œ a ∈ V ⁰,a 6= 0. Œ Œ Œ dim V ⁰ = 1, Œ a

Œ æ Æ Łæ V ⁰ Ł ª V ⁰ = {αa|α ∈ k}. f(a) Æ Ł º

V ⁰, Œ Œ Œ V ⁰ Ł Ł . ª f(a) = αa, a 6= 0,α ∈ k.

˛Æ , æ V ⁰ æ æ Ł a 6= 0, a ∈

V ⁰, f(a) = αa, ª α ∈ k. Œ Œ Œ V ⁰ æ æ , a