Алгебра (стр. 15 из 20)

˛ º Ł 9.1.1. ¸Ł Ø ß Ł æ æ V æ æ V ⁰ Ł Ł º k ß æ æ Œ Æ Ł f : V → V ⁰, º ø æº Ł :

1. (∀ a,b ∈ V ) f(a + b) = f(a) + f(b);

2. (∀ α ∈ k,a ∈ V ) f(αa) = αf(a).

´Ł , Ł ºŁ Ø ßØ ¿ º æ Æ Æø Ł -

Ł Ł Ł ¿. ´ æº Ł Ł , Æ º æ Æß f Æߺ

ÆŁ Œ Ł Ø. æº Ł 1) , f º æ ª Ł (_V,+)

. æº Ł 1) ß æ æº Ł Ł Ł æ Ł, æº Ł 2) ß æ æº Ł æ Ł.

˛ º Ł 9.1.2. ¸Ł Ø ß Ł æ æ V æ æ V ⁰ Ł Ł æ ß º k ß æ æ Œ

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9.1. ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

Æ Ł f _{: V} → _V ⁰, º ø æº Ł ºŁ Ø æ Ł:

(∀ α,β ∈ k, a,b ∈ V ) f(αa + βb) = αf(a) + βf(b).

˛Æ Ł L_(V,V ⁰₎ æ æ ı ºŁ Ø ßı Ł æ æ V æ æ V ⁰. ˝ æ ææ Ł

ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ: æº Ł Ł ł Ł .

˛ º Ł 9.1.3. ˇ æ f,g ∈ L(V,V ⁰) Ł α ∈ k. ˇ º ª , (f +

g)(a) = f(a) + g(a) Ł (αf)(a) = αf(a).

˛ º Ł 9.1.3 Œ Œ æ ßæº , f _{+ g} Ł αf º æ ºŁ Ø ß Ł Ł.

˜ Øæ Ł º , (∀ α,β ∈ k, a,b ∈ V ) (f +g)(αa+βb) = f(αa+βb)+

+g(αa+βb) = αf(a)+βf(b)+αg(a)+βg(b) = α(f(a)+g(a))+β(f(b)+

+ g(b)) = α(f + g)(a) + β(f + g)(b). º º f + g ∈ L(V,V ⁰).

¯ø ø Œ ß æ , αf ∈ L(V,V ⁰).

¯˛—¯ 9.1.1. æ L(V,V ⁰), ææ æ æ -

º ß Ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł , Æ ºŁ Ø æ æ º k.

˜ Œ º æ . ˇ æ f,g,h ∈ L(V,V ⁰),α,β,1 ∈ k. ˜º Œ º æ ß æ Œ , ß º æ 7 ŒæŁ ºŁ Ø ª æ æ , Ł

1. f + g = g + f;

2. f + (g + h) = (f + g) + h;

3. (∀ f,g)(∃ h) g + h = f;

4. α(f + g) = αf + αg;

5. (α + β)f = αf + βf;

6. (αβ)f = α(βf) = β(αf);

7. 1 · f = f.

ˇ Ł Œ ß Ł Łı.

1) ¨ (∀ a ∈ V ) (f+g)(a) = f(a)+g(a) = g(a)+f(a) = (g+f)(a).

º º , f + g = g + f.

3) ¨ f,g ∈ L(V,V ⁰). — ææ Ł Æ Ł h : V → V ⁰, -

º æº øŁ Æ (∀ a ∈ V ) h(a) = f(a) − g(a). ¸ ªŒ -

Œ	,	Æ	Ł	º æº	Ł ºŁ Ø æ Ł, æº -
º	, h ∈ L(V,V 0). ˇ	æ Ł	(∀ a ∈ V )	(g+h)(a) = g(a)+h(a) =

= g(a) + (f(a) − g(a)) = f(a). º º , g + h = f.

ˇ æ V,V 0,V 00 Ł ºŁ Ø ßı	æ æ	º k,	æ
f ∈ L(V,V 0), ϕ ∈ L(V 0,V 00). ª	ææ	Ł	Œ	Ł Ł
ºŁ Ø ßı ϕ◦f : V → V 00, Œ	º	æ æº	øŁ
Æ (ϕ ◦ f)(a) = ϕ(f(a)). Œ	Ł Ł	ϕ ◦ f Æ	Æ

ϕf.

ˇ Œ , ϕf æ ºŁ Ø ßØ Ł æ æ V _V ⁰⁰.

˜ Øæ Ł º , ϕf(αa + βb) = ϕ(f(αa + βb)) = ϕ(αf(a) + βf(b)) = = αϕ(f(a)) + βϕ(f(b)) = α(ϕf)(a) + β(ϕf)(b). º º , ϕf ∈

∈ L(V,V ⁰⁰).

¯˛—¯ 9.1.2. ˇ æ f,g ∈ L(V,V ⁰), ϕ,ψ ∈ L(V ⁰,V ⁰⁰), h ∈ L(V ⁰⁰,V ⁰⁰⁰), α ∈ k. ª æ ºŁ ß æº øŁ æ ł Ł :

1. ϕ(f + g) = ϕf + ϕg;

2. (ϕ + ψ)f = ϕf + ψf;

3. h(ϕf) = (hϕ)f;

4. α(ϕf) = (αϕ)f = ϕ(αf).

9.1. ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

ˇ æ f,g,ϕ,ψ,h ∈ L(V,V ), æ ºŁ Ø ß Ø ª æ æ V æ Æ .			ß Ł ºŁ-
˛ º Ł 9.1.4. ¸Ł Ø ßØ Ł V V ß æ Ł .			-
˝ æ L(V,V ) ææ Ł ºª Æ			Ł æŒ
Ł Ł . ¯æºŁ f,ϕ ∈ L(V,V ),			º ª
ϕf = ϕ ◦ f : V → V , ϕf ∈ L(V,V ). ˜º	Ø	ŁŁ	Ł
æ ºŁ ß æ ł Ł 1) 4)	ß 9.1.2.
¯˛—¯ 9.1.3. æ L(V,V ), ææ	æ	æ -
º ß Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł	Ł Ł:	Ł Ł
æº Ł Ł Ł Ł ł Ł º k.	Ł	, Æ	ºª Æ
9.1.3 , ŁŁ æº øŁ 10 ŒæŁ : 1) 7) ŒæŁ ß ºŁ Ø ª æ æ ; 8) f(g + h) = fg + fh, (f + g)h = fh + gh; 9) f(gh) = (fg)h; 10) α(fg) = (αf)g = f(αg).	æ	L(V,V )	º -
˚ Œ Ł æ Œ ºª Æ , ºª Æ ºŁ Ø ßı	æ æ	Ł Ł

ı ºª Æ Ł æŒŁı æ Œ : æ Œ ß ºŁ Ø ª æ æ ( ŒæŁ ß 1) 7)) Ł æ Œ ß Œ º ( ŒæŁ ß 1) 3) Ł 8) 9)). Ł æ Œ ß æ ß æ Æ Ø æ Øæ 10).

´ º ł Øł , æ L(V,V ) Æ Æ L(V ). ˇ Ł ß:

1) ˝ º Ø ºŁ Ø ßØ Ł L_{(V )}. ˛ Æ æ 0_V .

˛ º æ ŒŁ Æ (∀ a ∈ V ) 0_V (a) = 0. æ ,

(∀ f ∈ L(V )) f + 0_V = f.

2) æ ßØ ºŁ Ø ßØ Ł L(V ). ˛Æ				æ 1V .
˛ º æ ŒŁ Æ (∀ a ∈ V ) 1V (a)			=	a. æ ,
(∀ f ∈ L(V )) 1V · f = f · 1V = f.		,	ºª Æ L(V )
æ Ł Ł .
9.2 Ł ºŁ	Ø ª	Œ
ºŁ Ø	æ æ
˙ æ ß º Ł Æ ª dim V = n.	Ł æ ı ºŁ Ø ßı	ºª Æ ß L(V ),
¯˛—¯ 9.2.1. ˇ æ	e1,e2,...,en Æ	Łæ ºŁ	Ø	ª æ -
æ V . ˇ æ V 0	ª ºŁ Ø æ	æ	º k Ł

Ł º æŁæ Œ Ł V ⁰. ª æ ø æ -

Ł æ	ßØ ºŁ	Ø ßØ	f ∈ L(V,V 0),	øŁØ Æ Łæ
æ æ	V	æŁæ	Œ æ	æ	V 0,

æ