Интеграл Стилтьеса (стр. 6 из 7)
То есть это теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.
Доказательство:
Переходя к пределу, получим
Возьмем
, т.к. случай 
(т.е. 
) не представляет интереса: обе части формулы (18) – нули.Тогда
Обозначая написанное отношение через
и придем к (18).Если
в промежутке 
непрерывна, тогда 
и есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (18) имеет вид 
Пусть 
непрерывна, а функция 
имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива оценка интеграла Стилтьеса: 
где
Доказательство:
так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить (21).
Пусть в промежутке функция ограничена, 
монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса 
от и 
, то имеет место формула 
и почленно вычитая эти равенства, получим
Обозначим через
колебание функции в промежутке 
, тогда 
для 
, то, применяя оценку (21) к каждому интегралу с границами 
в отдельности, получаем: 
Если промежуток
раздроблен на столь мелкие части, что все 
– произвольное наперед заданное взятое число, тогда 
10. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.
Пусть функции 
непрерывны в промежутке 
и при 
равномерно стремятся к предельной функции 
также непрерывной, а
- функция с ограниченным изменением. Тогда 
Доказательство:
По заданному
найдется такое N, что при n>N будет для всех x 
Тогда в силу (21), для n>N
т.к.
- произвольное, то теорема доказана. Пусть функция непрерывна в промежутке , а функция 
- все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены: 
и
при 
стремятся к предельной функции 
то
Доказательство:
Докажем, что
имеет ограниченное изменение. Разложим промежуток произвольным образом на части точками 
Тогда для любого
Перейдем к пределу при
откуда и
Составим суммы Стилтьеса
Если предположить, что промежуток
при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то, в силу оценки (22), при всех 
С другой стороны, если разбиение фиксировать, то, очевидно,
при , так что найдется такое N, что для n>N будет 
Тогда для тех же значений n в силу (23) и (24) получаем:
Т.к.
- любое, то теорема доказана.11. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса.
Пусть кривая
задана параметрическими уравнениями 
в направлении от
к 
, когда 
. Тогда точкам 
( 
), взятым на кривой для образования интегральной суммы, будут отвечать возрастающие значения параметра 
: