Интеграл Стилтьеса (стр. 5 из 7)

(при c=a этот интеграл обращается в нуль).

Пусть функция

в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек

Терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции

в точках a или b – односторонние (если на деле какой-либо из этих точек скачка нет, то соответствующее слагаемое суммы обращается в нуль).

Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции

справа и слева:

очевидно, для

Составим вспомогательную функцию:

которая как бы вбирает в себя все разрывы функции

, так что разность оказывается непрерывной (по доказанному ранее).

Для значений

, отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, т.к. для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения При оно имеет значение ; но таков же и предел при

Аналогично проверяется и непрерывность функции

в точке слева.

Далее, если взять точку

(отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

Для непрерывности функции

по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

Точно так же легко вычислить и интеграл (с учетом (13), (14))

Складывая почленно эти два равенства, придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от

по функции

устанавливается попутно свойство в п.4.

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.

Рассмотрим интеграл

предполагая функцию

непрерывной и положительной а -монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

выражает некоторую кривую (K) , разрывную, как на рисунке.

Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно и то же предельное значение , равное ). Дополним кривую (K) всем горизонтальным отрезками, соединяющими пары точек

отвечающие всем скачкам функции

(по рисунку). Таким образом, составится уже непрерывная кривая (L). Покажем, что интеграл (16) представляет площадь фигуры под этой кривой, т.е. площадь фигуры, ограниченной кривой (L), осью x и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

С этой целью разложим промежуток

на части точками

и в соответствии с этим промежуток

на оси - на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения

функции в i-ом промежутке , составим нижнюю и верхнюю суммы Стилтьеса – Дарбу

Они представляют площади фигур, составленных из входящих и из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Так как при стремлении в 0 всех

обе суммы стремятся к общему пределу (16), то отсюда следует, что фигура, изображенная на рисунке квадрируема и площадью ее служит действительно интеграл (16).

Теорема о среднем, оценки.

Пусть в промежутке функция ограничена: , а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула