Интеграл Стилтьеса (стр. 4 из 7)

Теперь докажем:

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция

, а с нею и сложная функция , непрерывна.

С этой целью разложим промежуток [a,b] на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

Если предположить

(i=0, 1, …, n), то будем иметь

Так как

, то

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), ибо даже при

может оказаться, что к нулю не стремится. Тогда имеем

и

так что

Предположим теперь

настолько малым, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа . Так как при очевидно,

То одновременно и

В таком случаи

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

7. Вычисление интегралов Стилтьеса.

Если функция интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом

где функция

абсолютн интегрируема в , то

Интеграл справа существует. Существование Стилтьеса было уже доказано в п.3 (III). Остается лишь установить равенство (11).

Предположим, что

- положительная функция (для упрощения).

Составим сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для

будет где - это колебание функции в промежутке . Отсюда выкает оценка написанной выше разности:

Т.к. в п.3 (III) мы доказали, что при

стремится к 0, следовательно

Если с интегралом сходится и интеграл , то интеграл называют абсолютно сходящимся, а функцию fix) - абсолютно интегрируемой в промежутке [а, + ]

что и доказывает формулу (11).

При прежних предложениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

Интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ

буквально как дифференциал, заменить его выражением .

Если функция

оказывается разрывной, то начнем с рассмотрения «стандартной» разрывной функции , определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке x=0 справа, причем величина скачка

равна 1; в точке x=0 слева и в остальных точках функции непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке x=c справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке x=c слева, причем величина скачка будет равна -1.

Предположим, что функция

непрерывна в точке x=c, и вычислим интеграл

где

при (c=b этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка c попадет в k-й промежуток, так что

Тогда , а при . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: . Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

Аналогично можно убедиться в том, что (при

)