в предложении, что a<c<b и существуют все три интеграла.
Для доказательства этой формулы достаточно включить точку с в число точек деления промежутка [a, b] при составлении суммы Стилтьеса для интеграла

Из существования интеграла

следует существование обоих интегралов

.
Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого
из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет
место принцип сходимости Больцано–Коши

. Таким образом, по заданному

ввиду существования интеграла

найдется такое

, что любые две суммы

и

Стилтьеса, которым отвечают

разнятся меньше чем на

. Если при этом в состав точек деления включить точку с, а точки деления, приходящиеся на промежуток [с, b], брать в обоих случаях одними и теми же, то разность(

) сведется к разности(

) двух сумм Стилтьеса , относящихся уже к промежутку [а, с], ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку [a, с] и вычисленным для него стилтьесовым суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла

. Аналогично устанавливается и существование интеграла

Надо отметить что из существования обоих интегралов

, вообще говоря, не вытекает существование интеграла

.
Теорема(Больцано–Коши). Для того чтобы функция f(x) при стремлении x к а имела конечный предел ,т.е. сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа
существовало такое число
>0 ,
чтобы неравенство \f(x)-f(x')\
выполнялось, лишь только
Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

в предположении, что существует один из этих интегралов. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям.
Доказательство:
Пусть существует интеграл

. Разложим промежуток [
a,b] на части

(
i=0, 1, …, n-1), выберем в этих частях произвольно

, так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и отнять справа выражение

то

перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла

(существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка [
a,b] точками деления

если в качестве выбранных из промежутков

(
i= 1, …, n-1) точек взять

, а для промежутков
[a,
] и [
, b], соответственно,
a и
b. Если положить

, то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 2

. При

сумма в квадратных скобках стремится к

следовательно, существует предел

, т.е. интеграл

и этот интеграл определяется формулой (9).
Если функция g(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции f(x), то и функция f(x) интегрируема по функции g(x).

Пусть функция
f(x) непрерывна в промежутке [
a,b], а
g(x) монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле (для упрощения). Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьес

а с помощью подстановки
=g(x) непосредственно приводится к интегралу Римана.
На рисунке изображен график функции
=g(x). Для тех значений
x=x’
, при которых функция
g(x) испытывает скачок, дополним график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки (
x’
,g(x’-0) ) и (
x’
,g(x’+0)). Так создается непрерывная линия, которая каждому значению
v между

и
V=g(b) относит одно определенное значение
x между
a и
b. Эта функция

будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; ее можно рассматривать как своего рода обратную для функции

.
Именно, если ограничиться лишь теми значениями

, которые функция

действительно принимает при изменении

от
a до
b, то

является обратной для нее в обычном смысле, т.е. относит

именно те значения

, при которых

. Но из промежутка значений
[g(x’-0), g(x’+0)], связанного со скачком функции

, лишь одно значение

имеет себе соответствующим значение

; другим значениям

в упомянутом промежутке никакие значения

не отвечают. Условно относим и им то же значение

; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции

рядом вертикальных отрезков.