Интеграл Стилтьеса (стр. 2 из 7)

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случаи, если функция

имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :

Так как каждая из сумм

и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.

Можно ослабить условия, налагаемые на функцию f(x), если одновременно усилить требования к функции

II. Если функция f(x) интегрируема в [a, b] в смысле Римана, а

удовлетворяет условию Липшица:

(L=const.,

), то интеграл существует.

Предположим, что функция

не только удовлетворяет условию (6), но и является монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно,

, так что

Но последняя сумма при

и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции f(x), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случаи функции

удовлетворяющей условию Липшица (6), представим ее в виде разности

Функция

, очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6) , при

и

III. Если функция f(x) интегрируема в смысле Римана, а функция

представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

где

абсолютно интегрируема в промежутке [a,b], то интеграл (5) существует.

Пусть

, так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена:

, то для имеем

Таким образом, в этом случаи

удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II.

Предположим теперь, что

интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, например, b. Прежде всего, т.к. выберем так, чтобы было

где

- общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток [a, b] произвольным образом на части и составим сумму

Она распадается на две суммы

из которых первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке а вторая – остальным промежуткам. Последнее содержатся в промежутке [b- ,b], если только тогда, в силу (8),

С другой стороны, так как в промежутке

функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

В общем случаи, когда функция

абсолютно интегрируема в промежутке [a, b]:

неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция

непрерывна в промежутке [a, b] и имеет, исключая лишь конечное число точек, производную , причем эта производная (если ее значения в точках, где она не существует, выбрать произвольным образом) интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от a до b; тогда имеет место формула типа (7):

Если

абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в III.

4.Свойства интеграла Стилтьеса.

Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие свойства:

Доказательство:

=

Что и требовалось доказать.

При этом в случаях

из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем