Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 5 из 16)
очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как
то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.
Замечание. Пусть функция
непрерывна в промежутке 
и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную 
, причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от 
до 
; тогда, как известно, имеет место формула типа (7): 
.Если
абсолютно интегрируема, то к функции 
полностью приложимо изложенное в 3.2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:
При этом в случаях
из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.Затем имеем
в предположении, что
и существуют все три интеграла.Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки
в число точек деления промежутка 
при составлении суммы Стилтьеса для интеграла 
.По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла
следует уже существование обоих интегралов 
и 
.Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовской суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, по заданному
ввиду существования интеграла 
найдется такое 
, что любые две суммы 
и 
Стилтьеса, которым отвечают 
и 
, разнятся меньше чем на 
. Если при этом в состав точек деления включить точку , а точки деления, приходящиеся на промежуток 
, брать в обоих случаях одними и теми же, то разность 
сведется к разности 
двух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку 
, ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку и вычисленным для него стилтьесовским суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла 
. Аналогично устанавливается и существование интеграла 
.Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов
и , вообще говоря, не вытекает существование интеграла .Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке
функции 
и 
заданы следующими равенствами: 
; 
Легко видеть, что интегралы
оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда
, для второго - из постоянства функции , благодаря чему всегда 
В то же время интеграл
не существует. Действительно, разобьем промежуток
на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму 
Если точка 0 попадет в промежуток
, так что 
, то в сумме останется только одно 
-е слагаемое; остальные будут нули, потому что 
для 
.Итак,
В зависимости от того, будет ли
или 
, окажется 
или 
, так что 
предела не имеет.Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке
для обеих функций 
и .2.5 Интегрирование по частям
Для интегралов Стилтьеса имеет место формула
(9)в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.
Пусть существует интеграл
. Разложив промежуток на части 
, выберем в этих частях произвольно по точке 
, так что