Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 3 из 16)

Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.

Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.

Он рассмотрел интеграл

для случая произвольной непрерывной и произвольной возрастающей . В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.

Глава II. Интеграл Стилтьеса

2.1 Определение интеграла Стилтьеса

Пусть в промежутке

заданы две ограниченные функции и . Разложим точками

(1)

промежуток

на части и положим . Выбрав в каждой из частей по точке , вычислим значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции

.

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

. (2)

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса

при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом

. (3)

Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число

называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство

,

как бы не выбирать точки

в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция

в промежутке интегрируема по функции .

Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что

умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции взята сама независимая переменная :

.

2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция

монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при

теперь все .

Аналогично суммам Дарбу, и здесь целесообразно внести суммы

где

и означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции в -м промежутке . Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу-Стилтьеса.

Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)

причем

и служат точными границами для стилтьесовских сумм .

Сами суммы Дарбу-Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:

1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться.

2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу-Стилтьеса:

и

то, оказывается, что

.

Наконец, с помощью сумм Дарбу-Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема: Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было

Или

,

если под

, как обычно, разуметь колебание функции в -м промежутке .