Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 2 из 16)

где

- в общем случае комплексное число.

Пусть

- подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы

причем, если ряд

расходится, то

если же ряд

сходится, то

и функции

и различны.

К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом

(7)

и непрерывной дробью

, (8)

где

- суть линейные функции , а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :

Формулами

Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни

и действительны и различны, степень меньше степени . Для -й подходящей дроби справедливо равенство

или, в другой форме,

В частности,

Как уже говорилось

при , а потому, если обозначить через нули , то и при . Аналогично, если - нули функции , то и для случая нечетных . В случае расходимости ряда очевидно, что .

Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням

:

(9)

Тогда оказывается, что ряды

сходятся и

(10)

Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача - по разложению (9) найти дробь (6) - неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.

В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация

, как массы, сосредоточенной в точке , являющейся корнем . Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая как массы, расположенные в нулях функции (или ). После введения формул (10) Стилтьес пишет: "Рассмотрим на бесконечной прямой распределение массы (положительной), при котором на расстоянии от начала сосредоточена масса .

Сумма

может быть названа моментом порядка

масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка системы масс

имеет значение

.

Равным образом система масс

, где , будем иметь те же моменты .

Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:

Найти распределение положительной массы на прямой

, если даны моменты порядка ".

Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование

и как масс, а как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.

Цепные дроби рассматривающегося П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке

. Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни , оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале . Далее, поскольку рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел ; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности , как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции . Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т.е. решение проблемы моментов. Если при этом и , и попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы и . Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала , но для этого требовалось дать иное определение моментов.