Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 14 из 16)

Тогда

есть аддитивная функция от переменного промежутка . Предположим, что кроме неё для промежутка задана и функция точки . Разложим теперь, как обычно, промежуток точками

на части

, в каждой части произвольно выберем по точке и, наконец, составим сумму

(32)

Предел этой суммы при

и есть интеграл Стилтьеса, который естественно - учитывая процесс его построения - обозначить так:

(33)

Если определить вторую функцию точки

, положив

для

то, ввиду аддитивности функции

, во всех случаях

(34)

так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме

а предел (33) - к обыкновенному интегралу Стилтьеса

.

Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу (33).

Глава III. Применение интеграла Стилтьеса

3.1 Применение в теории вероятностей

В элементарной теории вероятностей, где рассматриваются случайные величины

, которые могут принимать только конечное множество значений , среднее значение или математическое ожидание определяется формулой:

(1)

Имея эту формулу, мы можем при помощи интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения на случайные величины

, которые могут принимать любое множество значений, заключенное в каком-нибудь ограниченном интервале , - если только мы примем следующую аксиому:

Каковы бы ни были функции

и случайной величины , для которых всегда , для них будут иметь место также и неравенства:

(2)

Чтобы распространить определения среднего значения, возьмем какое-нибудь подразделение

и пусть

и , когда Здесь , и поэтому в силу условия (2):

Величины же

и , таким образом определенные, могут принимать соответственно только значения и , а потому по формуле (1):

С другой стороны, очевидно, что вероятности

и обе равны вероятности , и потому

Итак, если ввести функции распределения

случайной величины :

Верхняя грань сумм в левой части и нижняя грань сумм в правой части этих неравенств обе равны интегралу Стилтьеса функции

, взятому в пределах от до ; последний всегда существует, как интеграл непрерывной функции, ограниченной в промежутке интегрирования. Итак, для среднего значения должно иметь место равенство:

.

Несколько сложнее обстоит дело со случайными величинами, которые могут принимать неограниченное множество значений. Если такая случайная величина

может принимать только счетное множество значений , то среднее значение определяется формулой

, (3)

причем ряд в правой части этой формулы должен быть абсолютно сходящимся, иначе его сумма зависела бы от порядка, в котором перенумерованы значения случайной величины, и среднее значение не было бы однозначно определено.

Имея формулу (3), мы можем при помощи соответствующим образом определенного несобственного интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения и на многие такие случайные величины, которые могут принимать несчетное неограниченное множество значений.

Приведем пример вычисления среднего значения

случайной величины , для которой это вычисление требует именно интеграла Стилтьеса, незаменимого ни обычным интегралом, ни конечным, ни бесконечным рядом.

Пусть случайная величина

определяется следующими условиями:

Она может принимать только значения между 0 и 1. Таким образом, её функция должна быть равна 0 при x<0 и равна 1 при

.

0

1

Она не может принимать ни одного значения в интервале

; попадание в соседние интервалы равновероятно. Таким образом, в интервале её функция распределения должна быть постоянна и равна .

В каждом из крайних интервалов повторяется такая же картина, т.е.

не может принимать ни одного значения в интервале и , попадание же в четыре интервала , , , для неё одинаково вероятно. Таким образом, в интервалах и её функция распределения должна иметь постоянные значения: в первом и во втором .