Интеграл Лебега-Стилтьеса (стр. 13 из 16)

Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот факт, о котором говорилось в конце п.4.

Пусть

непрерывна, а имеет ограниченное изменение в промежутке .

Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса

по переменному верхнему пределу

в точке , где функция непрерывна.

Заключение сразу вытекает из неравенства

если принять во внимание, что в точке

должна быть непрерывна и вариация .

Если

есть класс непрерывных в промежутке функций, а - класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, ни другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.

Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса

. Действительно, если функция имеет точку разрыва , то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением , имеющей ту же точку разрыва.

Пусть теперь

в промежутке имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию , для которой интеграл (30) не существует.

Если разделить промежуток

пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам интеграл т.д. По этому методу определится некоторая точка , в каждой окрестности которой не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть .

В таком случае легко построить последовательность возрастающих интеграл стремящихся к

значений :

так, чтобы ряд

расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел

, чтобы и ряд

(31)

все же расходился. Теперь определим функцию

, полагая

а в промежутках

считая линейной:

Очевидно,

будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), при и

так что интеграл от

по действительно не существует.

Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции

существует по любой из , то необходимо принадлежит ; аналогично, если этот интеграл по данной функции существует для любой из , то необходимо принадлежит .

В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса мы поставили требование, чтобы последовательность функций

стремилась к предельной функции равномерно. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности:

(Только при этом нужно ещё наперед предположить непрерывность предельной функции

).

При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда

возрастает в строгом смысле. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п.:

и, имея дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Арцелла.

Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка.

Пусть для каждой части

данного промежутка определено число , причем, если промежуток точкой разложен на части и , то и