Приближенные решения задач математической физики (стр. 7 из 8)
В случае функционала (1) система уравнений для нахождения коэффициентов в приближении решения 
приводится к виду
(2)Если мы строим минимизирующую последовательность для
, например с помощью метода Ритца, то, очевидно, будем иметь сходимость в 
при
. (2)Если
и если известно, что как 
, так и 
– достаточно гладкие в 
функции, то вместо функционала можно рассматривать функционал 
(3)В этом случае вычисления, ведущие к нахождению
(например, по методу Ритца), будут более трудоемкими, но с другой стороны, сходимость последовательности 
– очень быстрой. В частности из соотношений 
(4)которые аналогичны соотношению (2), можно сделать выводы, касающиеся равномерной сходимости не только последовательности
, но также и ее производных в рассматриваемой области.Метод Л.В.Канторовича приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Найти решение уравнения (1) для положительного на
оператора 
с краевыми условиями (2) 
(1)
(2)
Граница
области 
представляет собой криволинейную трапецию, заданную соотношениями 
. (3)
Решение задачи сведем к поиску минимума функционала:
(4)
Приближенное решение
будем искать в виде 
, (5)где
- заданные функции, удовлетворяющие условиям: 
, 
, 
, 
, (6)а
– неизвестные функции, которые необходимо определить из условия минимума функционала (4). В качестве функций 
можно брать, например, такие функции, удовлетворяющие условию (6)1)
, 2) 
.Подставим (5) в (4) , тогда
,
Если оператор
является дифференциальным оператором 2-ого порядка, то выражение под знаком интеграла преобразуется к виду 
.Выполняя интегрирование по переменной y, получим
, (7)где
– известная функция своих аргументов. Для отыскания решаем вариационную задачу о минимуме однократного интеграла.Выписывая систему уравнений Эйлера
, 
и присоединяя краевые условия
,
,получим краевую задачу для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка, решая которую найдем
, , а следовательно и 
. Метод Трефтца позволяет оценивать снизу минимальное значение функционала энергетического метода. В методе Ритца приближенное решение ищется в классе функций, удовлетворяющих краевым условиям, но не удовлетворяющих дифференциальному уравнению. В противоположность этому в методе Трефтца приближенное решение ищется в классе функций, удовлетворяющих уравнению, но не удовлетворяющих краевому условию.
Рассмотрим краевую задачу (1),(2) для конечной области
с границей 
: (1)
(2)
Обозначим через
решение уравнения (1), и пусть 
– линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, т. е. 
(3)
Тогда линейная комбинация
(4)будет снова решением уравнения (1): 
. Требуется так подобрать коэффициенты
, чтобы функция 
в каком-то смысле наиболее точно удовлетворяла граничным условиям (2). Например, можно подобрать 
так, чтобы интеграл 
(5)принимал наименьшее значение. В этом случае для отыскания
получим систему линейных алгебраических уравнений 
(6)