Модель производственной функции для сельскохозяйственной отрасли (стр. 2 из 4)

для F(K, L, t)

Виды производственных функций

Рассмотрим 4 производственные функции:

1. Линейная модель (функция с взаимозамещением ресурсов), задается уравнением:

Y = a₀ + b₁K + c₁L,

где b₁, c₁ >0 – частные эффективности ресурсов (предельный физический продукт затрат)

2. Квадратичная модель, задается уравнением:

Y = a₀ + b₁K + c₁L + b₂K² + c₂L²

3. Модель Кобба-Дугласа, задается уравнением:

Y = AK^aL^b,

где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а₁, a₂ -коэффициенты эластичности по труду и капиталу.

4. Модель с учетом НТП, задается уравнением:

Y = AK^aL^be^r⁰^t,

где

- специальный множитель технического процесса, r0 – параметр нейтрального НТП (r0 >0)

Параметры функции могут быть определены по методу наименьших квадратов

1. Для линейной модели:

Функция неувязок:

G =

® min по а₀, b₁, c₁

Производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем нулю

(1)

2. Для квадратичной модели:

Функция неувязок:

G =

® min по а₀, b₁, c₁, b₂, c₂

Производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем нулю

(2)

3. Для модели Кобба-Дугласа:

Прологарифмируем функцию:

lnY = lnA + alnK + blnL

Функция неувязок:

G =

® min по A, a, b

Частные производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем нулю

(3)

4. Для модели с учетом НТП:

Прологарифмируем функцию:

lnY = lnA + alnK + blnL + r0t

Функция неувязок:

G =

® min по A, a, b, r0

Частные производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем нулю

(4)

Далее из полученных уравнений находим неизвестные коэффициенты

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Исходные данные для построения ПФ

Годы	Y, Валовая стоимость продукции, млн. руб.	K, Капитал, млн. руб.	L, Расходы по з/п, млн. руб.
1987	3,626	12,021	1,251
1988	4,014	13,787	1,321
1989	4,453	15,429	1,392
1990	4,869	17,212	1,454
1991	5,296	19,042	1,507
1992	5,798	20,79	1,568
1993	6,233	23,097	1,598
1994	6,641	25,108	1,626
1995	7,241	27,097	1,667
1996	7,854	29,627	1,706
1997	8,09	32,362	1,753
1998	8,504	35,391	1,778
1999	8,879	38,474	1,806
2000	9,053	41,779	1,813
2001	9,11	45,976	1,855
2002	9,321	50,354	1,878
2003	9,545	55,018	1,898
2004	9,539	58,733	1,906
2005	9,774	61,935	1,911
2006	9,955	66,467	1,926
2007	10,1	69,488	1,939

Построение производственной функции

Линейная производственная функция

Построим линейную производственную функцию вида:

(1)

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели: Функция неувязок

достигает минимума при

a₀	a₁	a₂
-8,384563	0,0112465	9,15343789

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,201583	0,180130129
1988	13,787	1,321	4,014	3,862185	0,023047917
1989	15,429	1,392	4,453	4,530545	0,006013299
1990	17,212	1,454	4,869	5,118111	0,062056363
1991	19,042	1,507	5,296	5,623824	0,107468886
1992	20,79	1,568	5,798	6,201843	0,163089243
1993	23,097	1,598	6,233	6,502392	0,072572016
1994	25,108	1,626	6,641	6,781305	0,019685475
1995	27,097	1,667	7,241	7,178965	0,003848315
1996	29,627	1,706	7,854	7,564403	0,083866442
1997	32,362	1,753	8,09	8,025374	0,004176551
1998	35,391	1,778	8,504	8,288275	0,046537103
1999	38,474	1,806	8,879	8,579245	0,089853262
2000	41,779	1,813	9,053	8,680488	0,138764849
2001	45,976	1,855	9,11	9,112134	4,55595E-06
2002	50,354	1,878	9,321	9,371901	0,002590889
2003	55,018	1,898	9,545	9,607423	0,003896665
2004	58,733	1,906	9,539	9,722432	0,033647144
2005	61,935	1,911	9,774	9,80421	0,00091265
2006	66,467	1,926	9,955	9,992481	0,001404816
2007	69,488	1,939	10,1	10,14545	0,002065819

Следовательно, теперь мы можем построить ПФ:

Y^ = -8,384563 + 0,0112465*K +9,15343789*L

Рис.1 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

Квадратичная производственная функция

Построим квадратичную производственную функцию вида:

(2)

где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция неувязок имеет вид

Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2003. В результате получаем следующие показатели:

Функция неувязок

достигает минимума при:

a₀	a₁	a₂	a₃	a₄
10,65719	-0,02671	-16,62825	-0,00006	8,9660141

Годы	K	L	Y	Y^	(Y-Y^)^2
1987	12,021	1,251	3,626	3,556971	0,004765067
1988	13,787	1,321	4,014	3,957216	0,003224444
1989	15,429	1,392	4,453	4,456814	1,45478E-05
1990	17,212	1,454	4,869	4,956672	0,007686313
1991	19,042	1,507	5,296	5,429411	0,017798428
1992	20,79	1,568	5,798	6,045845	0,06142728
1993	23,097	1,598	6,233	6,330639	0,009533385
1994	25,108	1,626	6,641	6,614652	0,000694191
1995	27,097	1,667	7,241	7,083803	0,024710798
1996	29,627	1,706	7,854	7,538203	0,099727837
1997	32,362	1,753	8,09	8,130652	0,001652609
1998	35,391	1,778	8,504	8,412681	0,00833908
1999	38,474	1,806	8,879	8,750258	0,016574426
2000	41,779	1,813	9,053	8,756131	0,08813129
2001	45,976	1,855	9,11	9,303874	0,037587284
2002	50,354	1,878	9,321	9,547923	0,051493886
2003	55,018	1,898	9,545	9,737155	0,036923633
2004	58,733	1,906	9,539	9,751322	0,045080747
2005	61,935	1,911	9,774	9,729603	0,001971064
2006	66,467	1,926	9,955	9,838768	0,013509783
2007	69,488	1,939	10,1	9,966716	0,017764679

Следовательно, ПФ имеет вид:

Y^ = 10,65719 - 0,02671*K - 16,62825*L - 0,00006*K² + 8,9660141*L²

Рис.2 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции