Теория сравнений (стр. 1 из 12)

Введение

Методы теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень часто изучается недостаточно глубоко. Задача данной курсовой работы – изучить теоретический материал и рассмотреть ряд основополагающих задач по одному из основных разделов теории чисел: сравнения первой степени с одной и несколькими переменными, сравнения высших степеней и т.д.

Основная часть курсовой работы состоит из трех глав. В первой главе раскрываются основные понятия теории сравнений, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений. Во второй главе рассматриваются сравнения первой степени с одной переменной. Далее рассматриваются сравнения высших степеней и системы сравнений первой степени. В приложении приводятся примеры решения текстовых задач, которые сводятся к неопределенным уравнениям первого порядка и решаются с помощью сравнений.

Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями.

В работе приводится список литературы по теме.

1. Теория сравнений

1.1 Сравнения в кольце целых чисел

Понятие сравнения было введено впервые Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений.

Возьмем произвольное фиксированное натуральное число

и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и произведении операций над ними удобно ввести понятие так называемого сравнения по модулю.

Определение. Целые числа

и называются сравнимыми по модулю , если разность делится на , т.е. если .

Таким образом, сравнение представляет собой соотношение между тремя числами

и , причем , играющее роль своего рода эталона сравнения, мы называем «модулем». Для краткости будем это соотношение между и записывать:

,

и будем называть соответственно левой и правой частями сравнения. Число , стоящее под знаком модуля, будем всегда считать положительным, т.е. запись будет означать, что .

Если разность

не делится на , то мы будем записывать:

.

Согласно определению,

означает, что делится на .

Примеры.

1.

так как и делится на .

2.

, так как и делится на .

3.

, так как и делится на .

1.2 Основные теоремы о сравнениях

Теорема 1 (признак сравнимости двух чисел по модулю

). Два целых числа и сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда и имеют одинаковые остатки при делении на .

Доказательство. Пусть остатки при делении

и на равны, т.е.

	(1.1)
	(1.2)

где

Вычтем (1.2) из (1.1); получим

т.е. или

Обратно, пусть

это означает, что или

(1.3)

Разделим

на ; получим Подставив в (1.3), будем иметь т.е. при делении на получается тот же остаток, что и при делении на .

Пример 1. Определим, сравнимы ли числа

и по модулю .

Решение. При делении

и на получаются одинаковые остатки Следовательно,

Определение. Два или несколько чисел, дающие при делении на

одинаковые остатки, называются равноостаточными или сравнимыми по модулю .

Теорема 2. Отношение сравнимости рефлексивно:

.

Доказательство.

и имеют одинаковые остатки при делении на .