Действительно:
· так как

верно, то

· обратно, если

, то

, следовательно,

Чтобы решить сравнение

, можно
1) взять любую полную систему вычетов по mod m:

2) вычислить

3) взять те числа

, при которых сравнение

является верным, то есть

Соответствующие классы

, дадут все решения сравнения.
Удобнее брать полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по mod

. Если сравнение имеет несколько решений

, то эти решения можно записывать в виде

(то есть

принимает любые значения, сравнимые с одним из чисел

) вместо записи

Примеры.
1)

(mod 11).

классы вычетов по mod 11.

2)

Сравнение не имеет решения.
3)

Ответ:

Задача нахождения решения сравнения

проще, чем рассматриваемая в курсе алгебры задача нахождения решения уравнения

. Так как решая уравнение в некотором бесконечном множестве (R, С) нельзя перебрать все числа

. А решая сравнение

, ищем решение в конечном кольце Z
m классов вычетов по mod
m. Следовательно, с помощью конечного числа операций можно найти все решения. Но надо заметить, что при больших
m будут громоздкие вычисления, поэтому надо изучить способы, позволяющие определить число решений, а иногда и способы нахождения решения с помощью возможно меньшего числа операций.
Рассмотрим сравнение с одной переменной вида
где

,

, коэффициенты при старшем члене

и

не делятся на m.
Определение 1. Решением сравнения (3.3) называется класс вычетов по mod m, состоящий из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.
Теорема 1. Пусть

и

многочлены с целыми коэффициентами и целое число

удовлетворяет сравнению (3.3). Тогда весь класс вычетов

(
mod m) состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.
Доказательство.
1) Так как число

удовлетворяет сравнению (3.3), то оно удовлетворяет сравнению

, где

.
2)

mod m будет

, следовательно,

, поэтому число

удовлетворяет сравнению

то есть сравнению

. Следовательно, число

удовлетворяет сравнению (3.3). Таким образом, класс вычетов

состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению (3.3). Теорема 1 доказана.
Определение 2. Два сравнения
и
называются эквивалентными, если множество чисел, удовлетворяющих одному из них, совпадает с множеством чисел, удовлетворяющих другому сравнению.
Если

и сравнения (3.4) и (3.5) имеют одни и те же решения, то получим два эквивалентных сравнения по

.
Эквивалентные сравнения могут иметь разную степень.
Пример.

Решение первого сравнения:

, решением второго сравнения тоже будет класс вычетов

. Следовательно, они эквивалентны. Но степени их различны (степень первого сравнения равна 1, степень второго – 3).
Теорема 1. Пусть дано сравнение
где

.
Тогда имеют место следующие утверждения:
1) Если к обеим частям сравнения (3.6) прибавить любой многочлен

то получится сравнение, эквивалентное сравнению (3.6).
2) Если обе части сравнения (3.6) умножить на одно и то же целое число, взаимно простое с модулем, то получится сравнение, эквивалентное сравнению (3.6).
3) Если обе части сравнения и модуль умножить на одно и то же натуральное число

, то получится сравнение, эквивалентное сравнению (3.6).
Доказательство.
1) Пусть класс вычетов

но модулю

решение сравнения (3.6), то есть для

сравнение
2)
является верным сравнением, следовательно, сравнение
где

, тоже верно. Поэтому класс вычетов

по модулю

является решением сравнения
Обратное также верно: если

решение сравнения (3.9), то для

, будет верно сравнение (3.8), а, следовательно, верно сравнение (3.7), поэтому

является решением сравнения (3.6).