Примеры.
1)

. Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 7:

(так как классы вычетов будут

).
Если

, то

, следовательно,

не удовлетворяет сравнению.
Если

, то

, следовательно,

не удовлетворяет сравнению.
Если

, то

, следовательно,

не удовлетворяет сравнению.
Если

, то

, следовательно,

удовлетворяет сравнению, а поэтому класс вычетов

по

является решением сравнения.
Если

, то

, следовательно,

не удовлетворяет сравнению.
Если

, то

, следовательно,

не удовлетворяет сравнению.
Если

, то

, следовательно,

не удовлетворяет сравнению.
Таким образом, сравнение имеет одно решение

или, в другом виде,

.
Ответ:

.
2)

.
Классы вычетов по mod 10:

. Полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по mod 10: {0, 1, 2, 3, 4, 5, -4, -3, -2, -1}. Проверим для каждого из этих чисел, будет ли выполнено условие

. Имеем:
Получили, что ни одно из чисел, взятых из полной системы вычетов, не удовлетворяет сравнению, следовательно, данное сравнение не имеет решения.
Ответ:

.
Теорема 1. Пусть дано сравнение

,

. Тогда сравнение (2.4) не имеет решения.
Доказательство. От противного. Предположим, что существует решение: класс вычетов

по mod m. Тогда

удовлетворяет сравнению, то есть

верное сравнение. Отсюда получим, что
Из условия теоремы:

следует, что
Поэтому из (2.5) и (2.6) получим, что

и

, отсюда следует, что

. Получили противоречие:

так как сделали неправильное предположение. Отбросив его, получим, что сравнение (2.4) не имеет решения. Теорема 1 доказана.
Рассмотрим сравнение:
где

,

,

. Если

и

то сравнение не имеет решения.
Пусть теперь

, тогда будем иметь:

Поэтому получим:

. Так как по определению НОД число

, то из последнего сравнения получим:

Таким образом, полагая в (1), что НОД

, мы пришли к сравнению такого же вида, но с условием:

. Исследуем этот случай.
Теорема 1. Пусть дано сравнение (2.7) и НОД

. Тогда сравнение (2.7) имеет единственное решение.
Доказательство. Так как НОД

, то класс вычетов

по mod m принадлежит мультипликативной группе классов вычетов, взаимно простых с mod m. Поэтому (по свойству группы) уравнение

имеет единственное решение

, где

класс вычетов по mod m, взаимно простых с m. Значит, для

, но тогда

, отсюда

. Обозначим через

класс вычетов

no mod m, тогда получим, что для

следовательно,

, a

верное сравнение, то есть класс

является решением сравнения (2.7). Это решение единственно, так как существует единственный класс

. Теорема 1 доказана.