Теория сравнений (стр. 3 из 12)
Теорема 12. Если
и 
произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то 
.Доказательство. Если
, то, согласно теоремам 7 и 11, имеем: 
при 
.По теореме 9', получаем
,т.е.
.Теорема 12'. Если
и 
многочлен с целыми коэффициентами, то 
.Теорема 13. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.
Доказательство. Ввиду симметричности отношения сравнения достаточно рассмотреть случай, когда дано сравнение
. Складывая это сравнение со сравнением 
, получаем 
.Следствие. В левой и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать одно и то же слагаемое.
Теорема 14. В сравнении можно отбрасывать или добавлять слагаемые, делящиеся на модуль.
Доказательство. Если
и 
, т.е. 
, то, складывая эти сравнения, получаем . Аналогично из 
и получаем 
.Поскольку левую и правую части сравнения можно менять местами, утверждение верно и для слагаемых правой части.
Теорема 15. Если
и 
, то 
.Доказательство. Если
, то 
. Из 
, 
в силу транзитивности отношения делимости получаем 
, .Теорема 16. Если
, то множество общих делителей 
и 
совпадает с множеством общих делителей 
и 
. В частности, 
Доказательство. Если
, то , 
, 
, любой общий делитель 
чисел 
и является общим делителем чисел 
и , и, наоборот, если 
и 
, то 
.Поскольку пара
и пара 
имеют одни и те же общие делители, то и 
.Теорема 17. Если
, 
, то 
, где 
.Доказательство. Если
, , то , то 
и, согласно свойствам наименьшего общего кратного, 
.2. Сравнения первой степени с одной переменной
2.1 Основные понятия
Определение 1. Сравнением первой степени с одной переменной называется сравнение вида
 | (2.1) |
где
Будем говорить, что целое число
удовлетворяет сравнению (2.1), если 
верное сравнение.Теорема 1. Если целое число
удовлетворяет сравнению (*), то и весь класс 
по 
состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.Доказательство. Имеем:
, отсюда получим, что 
. Обозначим через 
разность 
, то есть 
. Следовательно, 
. А так как число удовлетворяет сравнению (2.1), то сравнение  | (2.2) |
является верным. Кроме того,
Получим
 | (2.3) |
Но тогда по свойству транзитивности из (2.2) и (2.3) получим, что
,то есть
удовлетворяет сравнению (2.1), поэтому весь класс , состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению (2.1). Теорема 1 доказана.Определение 2. Решением сравнения (2.1) называется класс вычетов по
, которые при подстановке в сравнение обращают его в верное сравнение.Число решений сравнения по
это число решений этого сравнения в какой-либо полной системе вычетов по модулю 
.