Пример 5. Сравнению

удовлетворяют классы

и

. Имеет ли это сравнение еще одно решение?
Делим

на

, находим:

так что

и, следовательно, это сравнение имеет три решения.
Некоторые из рассмотренных нами теорем можно легко обобщить на случай сравнений с несколькими неизвестными вида:
где

многочлен с целыми коэффициентами, а

простое число.
Теорема 1. Если в левой части сравнения (3.24) некоторые из неизвестных встречаются в виде степени с показателем

, то сравнение (3.24) можно заменить эквивалентным сравнением, в котором степень каждого из неизвестных не превосходит

.
Доказательство. Сравнение (3.24) эквивалентно сравнению

где

произвольный многочлен с целыми коэффициентами.
Если среди слагаемых

есть член вида

где

, то мы можем, взяв

,
заменить его членом

, затем

и т.д.
Если

где

, то в показателе для

можно отбросить

и получить эквивалентное сравнение, в котором слагаемое

будет заменено на

Проделав такие операции для всех слагаемых по отношению к каждому из неизвестных, входящему с показателем

, получим сравнение, эквивалентное первоначальному, в котором степень по отношению к каждому неизвестному будет не больше чем

.
Теорема 2. Если сравнение

степень которого по каждому неизвестному меньше чем

, удовлетворяется при всех целых

, то все коэффициенты многочлена

делятся на

.
Доказательство. Проведем индукцию по числу неизвестных

. При

утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно при

, и возьмем произвольное тождественное сравнение

, степень которого по каждому неизвестному меньше чем

. Если

наибольший показатель степени неизвестного

, то сравнение можно представить в виде:

где все

многочлены с целыми коэффициентами, степени которых по каждому неизвестному меньше чем

. Если вместо

подставить любые целые числа, то получим тождественное сравнение с неизвестной

степени

. Все коэффициенты этого сравнения:

должны при любых значениях

делиться на

. Поскольку согласно предположению для многочленов от

аргументов утверждение теоремы верно, все коэффициенты этих многочленов, а следовательно, и многочлена

должны делиться на

.
Согласно принципу полной математической индукции утверждение теоремы верно для любого числа аргументов.
4.1 Системы сравнений первой степени
Систему сравнений первой степени с одним и тем же неизвестным, но с разными модулями, запишем в общем виде так:
Общий способ (способ последовательного решения) состоит в том, что сначала находится
из первого сравнения, где
– наименьший неотрицательный или абсолютно наименьший вычет по модулю
и берется класс чисел удовлетворяющих первому сравнению.
Затем это значение
подставляется во второе сравнение, что дает 
откуда находится
опять в виде класса чисел и подставляется в равенство (
.В результате получается значение
в виде класса чисел, удовлетворяющих первым двум сравнениям системы. Дальше это значение
подставляется в третье сравнение системы, так же находится
, затем находится
и подставляется в четвертое сравнение системы и т.д.Заметим, что можно идти и несколько иным путем: сначала решается каждое из сравнений системы и представляется в виде:
а затем поступают описанным способом.
Если окажется, что хотя бы одно из сравнений системы (4.1) не имеет решения или сравнение относительно
в описанном способе неразрешимо, то система (4.1) не имеет решения.Если для сравнений
системы (4.1)
и
то, сокращая члены и модуль каждого сравнения на
получаем систему: