Задача оптимального управления ресурсами промышленного предприятия с учетом взаимодействия со см (стр. 2 из 3)

Доказаны теоремы:

1. Если параметры и управления задачи А измеримы и для правых частей дифференциальных уравнений выполнены условия Филиппова А.Ф. и существует хотя бы одна допустимая пара, удовлетворяющая всем условиям задачи А, то оптимальное решение существует и единственно.

2. Принцип максимума для задачи А выполняется тривиально.

Далее предлагается регуляризация задачи А за счет введения малых параметров в правые части дифференциальных уравнений. При этом получается нетривиальный принцип максимума.

График 1

На графиках 1 и 2 приведены характерные решения для фиксированных параметров

и . Приведенные графики построены с помощью графического пакета и адаптированного пакета прикладных программ БАЛАНС — 2.

Проверка правильности построения гипотезы о геометрии оптимальной траектории для рассматриваемых задач выполнялась по принципу максимума Понтрягина.

На графике 1 приведена динамика фазовых переменных, откуда хорошо видно, что при кризисных явлениях нет никакой прибыли на определенном интервале времени, что характеризуется поведением кривой

. Здесь по оси ординат отложены условные единицы значений фазовых переменных, а по оси абсцисс характерное время с выбором подходящего масштаба.

График 2

Для рассматриваемой модели в качестве примера параметр-функции задавались в виде:

Где

, , - константы.

График 2 иллюстрирует динамику управляющих функций (для модельного примера). Значения на оси ординат слева характеризуют интенсивности, а справа — параметр-функции. А по оси абсцисс отложено характерное время.

Аналитически показано, что существует область изменения параметров, для которой выполняется нетривиальный принцип максимума.

Во второй главе приводятся постановки линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями.

Под задачей оптимального управления со смешанными ограничениями понимается задача следующего вида: найти управление

, дающее минимум функционалу

,

при условиях

,
; ,

необходимые условия оптимальности имеют вид:

, ,
,
,

где вектор

является решением системы уравнений

с условиями

.

Далее рассматриваются достаточные условия оптимального управления, основанные на методике сведения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями к задаче ЛП в банаховых пространствах, предложенной А.М. Тер-Крикоровым. Далее рассматриваются две задачи:

Задача 1.

Найти управления

, дающие максимум линейному функционалу

(1)

при следующих ограничениях:

,	(2)
, ,	(3)
, .	(4)

Матрицы

, , и и векторы , имеют ограниченные измеримые компоненты, которые выражают обобщенные технологические и весовые показатели. Соответствующие матрицы и векторы имеют следующие размеры: , , , , , , , , . Векторы с символом являются строками, без – столбцами.

Задача 2.

Найти управления

, , дающие минимум линейному функционалу

(5)

при следующих ограничениях:

,	(6)
,	(7)
, .	(8)

Достаточные условия оптимальности задач 1 и 2 даются следующей теоремой:

Теорема 1 (Тер-Крикоров). Пусть для некоторых допустимых управлений

и , задач 1 и 2 выполнены условия

, ;	(9)
, ;	(10)
, ,	(11)

причем первые два равенства выполняются почти при всех

. Тогда , будет оптимальным решением задачи 1, а , , будет оптимальным решением задачи 2.