
, (3.14´)
в котором находится число

и по цифре

числа

в СОК по модулю

, т.е.

. (3.15´)
Так как (

,

) = 1, то по теореме Эйлера:

, (3.16´)
где

– функция Эйлера. Причём если

– простое число, то

=

–1. Подставляя (3.15´) в (3.4´), учитывая (3.1´) и (3.4´) число

можно записать в виде

. (3.17´)
Для определения номера интервала

подставим (3.17´) в (3.14´):

. (3.18´)
Учитывая, что

перепишем (3.18´) в виде

. (3.19´)
Так как

является делителем чисел

то

где

и

–
постоянные коэффициенты, определённые системой оснований.
Таким образом,

. (3.20´)
Подставляя (3.20´) в (3.15´), получим позиционное представление числа

. (3.21´)
В качестве дробирующего модуля целесообразнее выбирать наибольший из модулей системы. В этом случае модульные операции выполняются при меньшей величине модуля, что ведёт к меньшим временным и аппаратурным затратам. Целесообразно также для упрощения вычислений и минимизации времени выполнения операций выбирать в качестве дробирующего модуля

наибольшие модули системы, представляющие числа Мерсенна

или Ферма

. При этом предпочтение отдаётся числам Мерсенна, так как арифметика по этим модулям проще.
Проиллюстрируем рассмотренный метод на примере.
Пример. Пусть дана система оснований

тогда

= 210. Пусть надо перевести число

=(0,1,4,3). В качестве дробирующего модуля выберем

тогда

, номер интервала

, а само число

. Определим

Так как

то

Тогда

Таким образом,

13·7 + 3 = 94.
На основе этой же характеристики числа – номера интервала, с применением теоремы Эйлера предлагается алгоритм перевода числа в ПСС. Разность между модулями можно представить в виде

=

–

и тогда

, (3.22´)
но с другой стороны

(

). (3.23´)
Из (3.22´) и (3.23´) следует, что

Так как

. (3.24´)
Решение сравнения (3.24´) можно записать в виде

(3.25´)
где

– функция Эйлера. Если

– простое число, то

Поэтому в случае простого

выражение (2.3.13) примет вид:

Перепишем (3.15´) с учётом (3.25´)

(3.26´)
где

– константа, определяемая выбором оснований СОК. Нетрудно заметить, что

– наименьший неотрицательный вычет по составному модулю

·

. Исходя из этого можно записать:

(3.27´)
где

показывает, сколько раз произведение

·

укладывается в числе

. Для нахождения

можно считать, что число

представлено в системе оснований

в виде

и после этого можно воспользоваться формулой (3.27´). Проводя аналогичные рассуждения, после преобразований получим:

(3.28´)
Где

(3.29´)
Тогда искомая величина числа

(

– наименьший неотрицательный вычет числа

по составному модулю

) определяется за

– 1 шагов, где

– число оснований СОК.